گروه لی

در ریاضیات، گروه لی ( به انگلیسی: Lie Group ) ، گروهی است که همزمان منیفلد دیفرانسیل پذیر نیز باشد. منیفلد، فضایی است که به طور موضعی شبیه فضای اقلیدسی است، در حالی که گروه، فضایی است که مفهوم ضرب و معکوس آن ( یعنی تقسیم ) را مجردسازی می کند. با ترکیب این دو ایده، گروهی پیوسته بدست می آید که همزمان می توان نقاط آن را در هم ضرب نموده و هر عضو آن نیز معکوس دارد. اگر علاوه بر این خصوصیات، عمل ضرب و معکوس گیری هموار ( دیفرانسیل پذیر ) باشند، گروه مورد نظر تبدیل به گروه لی می گردد.
گروه های لی، مدل طبیعی برای مفهوم تقارن پیوسته ارائه می کنند، مثال معروفی از آن، تقارن دورانی در سه بعد است ( که با گروه متعامد خاص S O ( 3 ) داده می شود ) . گروه های لی، به طور گسترده در بخش های متعددی از ریاضیات و فیزیک نوین مورد استفاده قرار می گیرند.
گروه های لی اولین بار با مطالعه زیرگروه هایی از گروه های ماتریس های n × n معکوس پذیر GL n ⁡ ( R ) و GL n ⁡ ( C ) روی میدان های R و C یافت شدند. اکنون این گروه ها را گروه های کلاسیک می نامند، چرا که در حال حاضر این مفهوم از اصل خود بسیار فراتر رفته است. گروه های لی را به نام ریاضی دان نروژی سوفوس لی ( ۱۸۴۲–۱۸۹۹ میلادی ) نامگذاری کرده اند. او کسی بود که بنیان های نظریه گروه های تبدیلات پیوسته را پی ریزی نمود. انگیزه اصلی لی برای معرفی گروه های لی، مدل سازی تقارن های پیوسته ای از معادلات دیفرانسیل بود، دقیقاً به همان ترتیبی که گروه های متناهی را در نظریه گالوا جهت مدل سازی تقارن های گسسته معادلات جبری به کار می برند.
براساس موثق ترین منبع از تاریخچه ابتدایی گروه های لی ( هاوکینز، صفحه ۱ ) ، سوفوس لی زمستان ۱۸۷۳–۱۸۷۴ را به عنوان تاریخ تولد گروه های پیوسته در نظر گرفت. با این حال، هاوکینز پیش نهاد می دهد که «فعالیت تحقیقاتی شگرف لی طی دوره چهارساله از پاییز ۱۸۶۹ تا پاییز ۱۸۷۳» بود که منجر به خلق این نظریه شد ( همان مرجع ) . برخی از ایده های اولیه لی در همکاری نزدیک با فلیکس کلاین شکل گرفتند. لی هر روز از اکتبر ۱۸۶۹ تا ۱۸۷۲ با کلاین ملاقات می کرد: در برلین از انتهای اکتبر ۱۸۶۹ تا پایان فوریه ۱۸۷۰، و طی دو سال بعدی در پاریس، گوتینگن و ارلانگن ( همان مرجع، صفحه ۲ ) . لی بیان نمود که تمام نتایج اصلی تا ۱۸۸۴ بدست آمده بودند. اما طی دهه ۱۸۷۰ میلادی، تمام مقالات او ( به جز اولین یادداشت ) در ژورنال های نروژی منتشر شده بودند، که مانع از شناخته شدن اثر او در بقیه اروپا شد ( همان، صفحه ۷۶ ) . در ۱۸۸۴ میلادی، یک ریاضیدان آلمانی به نام فریدریش انگل، برای کار سازمان یافته جهت ارائه نظریه اش در مورد گروه های پیوسته، نزد لی آمد. از تلاش های او، اثر سه جلدی Theorie der Transformationsgruppen حاصل شد که در سال های ۱۸۸۸ و ۱۸۹۰ و ۱۸۹۳ میلادی منتشر شدند. اصطلاح groupes de Lie اولین بار در ۱۸۹۳ میلادی در رساله شاگرد لی به نام آرتور ترسه ( Arthur Tresse ) در فرانسه ظاهر شد. [ ۱]