در ریاضیات و در شاخه ی توپولوژی جبری، گروه بنیادی یک فضای توپولوژیکی، گروهی از دسته های هم ارزی تحت هموتوپی حلقه ها ( به انگلیسی: loops ) یی است که داخل آن فضا قرار دارند. این گروه، اطلاعات مربوط به شکل بنیادین، یا حفره های فضای توپولوژیکی را در خود ثبت می کند. گروه بنیادی، اولین و ساده ترین گروه هموتوپی است. گروه بنیادی یک ناوردای هموتوپیایی است، به عبارتی دیگر، فضاهای توپولوژی که هم ارز هموتوپی هستند ( یا حالت قوی تر آن که با هم همسان ریخت باشند ) ، گروه های بنیادین یک ریختی دارند.
از یک فضا که نقطه ای روی آن قرار دارد شروع کرده ( به عنوان مثال یک رویه ) ، و تمام حلقه هایی با شروع و پایان از آن نقطه را در نظر بگیرید، این حلقه ها مسیر هایی هستند که شروع و پایانشان همان نقطه بوده، به گونه ای که در آن فضای مورد نظر سیر کرده و به نقطه آغازین خود باز خواهند گشت. دو حلقه را می توان به سادگی با هم ترکیب کرد: اینگونه که با طی کردن اولین حلقه، وارد حلقه دوم شود. دو حلقه در صورتی با هم معادلند که بتوان یکی را با تغییر شکل بدون پارگی به دیگری تبدیل کرد. مجموعه تمام چنین حلقه هایی به همراه روش ترکیب کردن و معادل سازی بینشان، تشکیل گروه بنیادی آن فضای خاص را خواهند داد.
هانری پوانکاره گروه بنیادی را در ۱۸۹۵ در مقاله اش "Analysis situs" معرفی کرد. [ ۱] این مفهوم در نظریه رویه های ریمانی، در کار های برنارد ریمان، پوانکاره، و فلیکس کلاین ظهور پیدا کرد. گروه بنیادی، خواص مونودرومی توابع مختلط مقدار را توصیف می کند، به علاوه این که دسته بندی توپولوژیکی کاملی بر روی رویه های بسته ارائه می نماید.
در سرتاسر این مقاله، X یک فضای توپولوژیست. مثال معمول آن رویه ای است که در تصویر مشاهده می کنید. به علاوه، x 0 نقطه ای در X است که به آن نقطه پایه ای گفته می شود. ( همانگونه که در ادامه توضیح داده خواهد شد، نقش این نقطه کمکی و جنبیست ) ایده ی تعریف گروه هموتوپی این است که ( به طور کلی ) تا چه حد خم های درون فضای X را می توان با تغییر شکل به هم دیگر تبدیل نمود. تعریف دقیق آن وابسته به مفهوم هموتوپی حلقه هاست، که ابتدا آن را توضیح خواهیم داد.
فرض کنید فضای توپولوژیکی X داده شده باشد. یک حلقه ( یا کمند ) ( به انگلیسی: loop ) در x 0 به صورت تابع پیوسته زیر تعریف شده باشد:
چنان که نقطه آغازین γ ( 0 ) و نقطه پایانی γ ( 1 ) هردو برابر x 0 باشند.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاز یک فضا که نقطه ای روی آن قرار دارد شروع کرده ( به عنوان مثال یک رویه ) ، و تمام حلقه هایی با شروع و پایان از آن نقطه را در نظر بگیرید، این حلقه ها مسیر هایی هستند که شروع و پایانشان همان نقطه بوده، به گونه ای که در آن فضای مورد نظر سیر کرده و به نقطه آغازین خود باز خواهند گشت. دو حلقه را می توان به سادگی با هم ترکیب کرد: اینگونه که با طی کردن اولین حلقه، وارد حلقه دوم شود. دو حلقه در صورتی با هم معادلند که بتوان یکی را با تغییر شکل بدون پارگی به دیگری تبدیل کرد. مجموعه تمام چنین حلقه هایی به همراه روش ترکیب کردن و معادل سازی بینشان، تشکیل گروه بنیادی آن فضای خاص را خواهند داد.
هانری پوانکاره گروه بنیادی را در ۱۸۹۵ در مقاله اش "Analysis situs" معرفی کرد. [ ۱] این مفهوم در نظریه رویه های ریمانی، در کار های برنارد ریمان، پوانکاره، و فلیکس کلاین ظهور پیدا کرد. گروه بنیادی، خواص مونودرومی توابع مختلط مقدار را توصیف می کند، به علاوه این که دسته بندی توپولوژیکی کاملی بر روی رویه های بسته ارائه می نماید.
در سرتاسر این مقاله، X یک فضای توپولوژیست. مثال معمول آن رویه ای است که در تصویر مشاهده می کنید. به علاوه، x 0 نقطه ای در X است که به آن نقطه پایه ای گفته می شود. ( همانگونه که در ادامه توضیح داده خواهد شد، نقش این نقطه کمکی و جنبیست ) ایده ی تعریف گروه هموتوپی این است که ( به طور کلی ) تا چه حد خم های درون فضای X را می توان با تغییر شکل به هم دیگر تبدیل نمود. تعریف دقیق آن وابسته به مفهوم هموتوپی حلقه هاست، که ابتدا آن را توضیح خواهیم داد.
فرض کنید فضای توپولوژیکی X داده شده باشد. یک حلقه ( یا کمند ) ( به انگلیسی: loop ) در x 0 به صورت تابع پیوسته زیر تعریف شده باشد:
چنان که نقطه آغازین γ ( 0 ) و نقطه پایانی γ ( 1 ) هردو برابر x 0 باشند.
wiki: گروه بنیادی