کاردینالیتی

در ریاضیات، کاردینالیتی یا عدد اصلی[ ۱] ( به انگلیسی: cardinality ) یک مجموعه، یک اندازه گیری برای «تعداد عناصر مجموعه» است. برای مثال مجموعه A = {۲، ۴، ۶} شامل ۳ عنصر بوده و در نتیجه دارای کاردینالیتیِ ۳ است. دو روش در مورد کاردینالیتی وجود دارد – یکی که مجموعه ها را مستقیماً با استفاده از توابع دوسویه و توابع یک به یک مقایسه می کند و دیگری که از اعداد اصلی بهره می برد. [ ۲] کاردینالیتی یک مجموعه همچنین اندازه آن خوانده می شود، جائیکه با دیگر مفاهیمِ اندازه[ ۳] خلط نشود.
کاردینالیتی یک مجموعه A را معمولاً با |A|، با یک نوار عمودی در هر طرف نشان می دهند؛ این همان نماد قدر مطلق است و معنای آن بستگی به زمینه بحث دارد. معادلاَ، کاردینالیتی یک مجموعه A ممکن است با n ( A ) , card ( A ) یا A# نشان داده شود.
رابطهٔ دارای عدد اصلی یکسان بودن را هم - شماری ( یه انگلیسی:  equinumerosity ) می گویند و آن یک رابطه هم ارزی روی رده تمام مجموعه هاست. بنابر این، رده هم ارزی از یک مجموعه A تحت این رابطه متشکل از تمام آن مجموعه هاییست که دارای کاردینالیتی یکسانی با A هستند. دو راه برای تعریف «کاردینالیتی یک مجموعه» وجود دارد:
• کاردینالیتی یک مجموعه A به عنوان رده هم ارزی اش تحت رابطهٔ هم - شماری تعریف می شود.
• یک مجموعه نمایشگر برای هر رده هم ارزی مشخص می شود. رایج ترین انتخاب، شیء ابتدایی در آن رده است. این معمولاً به عنوان تعریف عدد اصلی در تئوری اصل موضوعه ای مجموعه ها در نظر گرفته می شود.
با فرض اصل انتخاب، کاردینالیتی مجموعه های نامتناهی به صورت زیر مشخص می شوند:
برای هر عدد ترتیبی α ، ℵ α + 1 کوچکترین عدد اصلی بزرگتر از ℵ α است.
اگر اصل موضوع انتخاب برقرار باشد، قاعده تثلیث برای کاردینالیتی برقرار خواهد بود. بنابراین ما می توانیم تعاریف زیر را ارائه دهیم:
• هر مجموعه X باکاردینالیتی کمتر از اعداد طبیعی، یا | X | < | N | را یک مجموعه متناهی می گویند.
• هر مجموعه X که دارای کاردینالیتی یکسانی با اعداد طبیعیست، یا | X | = | N | = ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} شمارای نامتناهی گویند.
• هر مجموعه X با کاردینالیتی بیشتر از اعداد طبیعی، یا | X |> | N |، برای مثال | R | = c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} > | N |، ناشمارا گویند.