چند جمله ای رخی

در ترکیبییات ریاضیات، چند جمله ای رخی، یک چند جمله ای تولیدی از تعداد حالت های قرار دادن تعدادی رخ بر روی صفحه ای است شبیه یک صفحه شطرنجی می باشد؛ یعنی هیچ دو رخی در یک ردیف یا ستون نباشند. تخته زیر مجموعه خانه های ( مربع های ۱ در ۱ ) یک صفحه شطرنجی مستطیل شکل با m ردیف و n ستون است که بتوان روی آنها یک رخ قرار داد. تخته یک صفحه شطرنج معمولی است اگر همه خانه ها مجاز باشند و m = n = ۸ و یک صفحه شطرنج با اندازه دلخواه است اگر همه خانه ها مجاز باشد و m = n. ضریب xk در چند جمله ای رخی RB ( x ) تعداد راه هایی است که k رخ، به طوری که هیچ یک از آنها به دیگری حمله نکند، می توانند در خانه های مجموعه B مرتب شوند. چیدمان رخ ها به گونه ای است که هیچ جفت رخی در یک ردیف یا ستون نباشند. از این نظر، یک چیدمان عبارت است از قرارگیری صخره ها روی تخته ایستا و غیر متحرک. اگر صفحه در هنگام ثابت ماندن خانه ها چرخانده شود یا منعکس شود، ترتیب متفاوت نخواهد بود. اگر ردیف ها عوض شوند یا ستون ها عوض شوند، چند جمله ای به همان صورت باقی می ماند.
اصطلاح «چند جمله ای رخی» توسط جان ریوردان[ ۱] بوجود آمد. با اینکه این نام از شطرنج آمده است، انگیزه مطالعه چند جمله ای های رخی ارتباط آنها با شمارش جایگشت ها ( یا جایگشت های جزئی ) با موقعیت های محدود است. صفحه B که زیر مجموعه ای از صفحه شطرنجی n × n است، مربوط به جایگشت n شیء، که ممکن است ما آن را نسبت دهیم به اعداد ۱، ۲، …، n را، به طوری که عدد aj در موقعیت Jام جایگشت باید شماره ستون یک خانه مجاز در ردیف j از B باشد. مثالهای معروف شامل تعداد روشهای قرار دادن n رخ غیر حمله کننده ( در یک ردیف یا ستون نباشند ) در:
• یک صفحه n × n کامل، که یک مسئله ترکیبیاتی ابتدایی می باشد؛
• همان صفحه ولی خانه های قطر این صفحه مجاز نمی باشند؛ این مسئلهٔ پریش یا مسئلهٔ کلاه"hat - check problem" می باشد ( این یک حالت خاصی از problème des rencontres می باشد ) ؛
• همان صفحه ولی خانه های قطر و خانه های دقیقاً یک خانه بالای آن و خانه پایین چپ صفحه مجاز نمی باشند. این یک بخش مهم در راه حل مسئله problème des rencontres می باشد.
توجه به جایگذاری رخ از ترکیبیات خالص و کاربردی، نظریه گروه، نظریه اعداد و فیزیک آماری منشأ می گیرد. ارزش چند جمله ای های رخی از کاربرد رویکرد تابع مولد ناشی می شود و همچنین از این واقعیت که ریشه های چند جمله ای رخی یک صفحه اطلاعات ارزشمندی در مورد ضرایب آن، یعنی تعداد حالت های چیدن k رخ غیر حمله ای، ارائه می دهند.