پوشش خطی

در ریاضیات، اسپن یا پوشش خطی ( به انگلیسی: linear span ) یا گسترهٔ مجموعهٔ S از بردارهای یک فضای برداری با Span ⁡ ( S ) نشان داده می شود. [ ۱] گسترهٔ یک مجموعه برابر مجموعهٔ تمام بردارهایی است که از ترکیب های خطی عناصر S به دست می آیند. [ ۲] پوشش ها را می توان به میترویدها و مدول ها تعمیم داد.
برای بیان H = Span ⁡ ( S ) معمولاً از این اصطلاحات استفاده می شود: S مولد H است؛ H گسترهٔ S است؛ S فضای H را پوشش می دهد؛ S فضای H را تولید می کند؛ فضای H توسط S پوشش داده می شود؛ فضای H توسط S تولید می شود؛ S یک مجموعه پوششی برای H است.
اگر در فضای برداری V بر روی میدان F مجموعهٔ مولد S زیرمجموعه ای از بردارهای V باشد، Span ⁡ ( S ) مجموعهٔ تمام بردارهایی که از ترکیب خطی عناصر S به دست می آیند تعریف می شود:[ ۲]
Span ⁡ ( S ) = { ∑ v i ∈ S λ i v i | λ i ∈ F } .
همچنین اسپن را می توان به صورت معادل «اشتراک همه زیرفضاهای برداری که شامل S هستند»، یا به صورت «کوچکترین زیرفضای برداری شامل این مجموعه» تعریف کرد. [ ۳]
• از روی هر تعریف، تعاریف معادل دیگر نتیجه می شوند.
• اگر در فضای برداری V {\displaystyle V} مجموعهٔ مولد S {\displaystyle S} زیرمجموعه ای از بردارهای V {\displaystyle V} باشد، H = Span ⁡ ( S ) {\displaystyle H=\operatorname {Span} ( S ) } زیرفضای برداری V {\displaystyle V} است. [ ۲]