پریش ( به انگلیسی: Derangement ) در ترکیبیات یک
جایگشت است، بطوری که هیچ کدام از عناصر در مکان اصلی خود نباشند. در حقیقت یک رابطهٔ F وجود دارد از مجموعهٔ S به خودش بدون آن که هیچ عضوی با خودش رابطه داشته باشد، یعنی برای همهٔ x های عضو S ، F ( x ) مخالف x است.
مشکل شمارش پریش ها اولین بار در سال ۱۷۰۸ توسط پیره ریموند بررسی شد، البته نیکلاس برنولی نیز هم
زمان برروی این موضوع کار می کرد.
فرض کنید یک استاد از ۴ دانشجو، ۴ امتحان گرفته و اکنون از آن ها می خواهد که آزمون های یکدیگر را تصحیح کنند. می دانیم که هیچ دانش آموزی نباید برگهٔ خودش را تصحیح کند. در این صورت، استاد چند راه ممکن برای پخش برگه ها دارد، بطوری که هیچ دانش آموزی برگهٔ خودش را نگیرد؟
اگر دانشجوها را به ترتیب با C, B، A و D نمایش دهیم، جایگشت های مطلوب بصورت زیر خواهد بود:
BADC, BCDA, BDAC , CADB, CDAB, CDBA , DABC, DCAB, DCBA
یعنی از میان ۲۴ جایگشت ( !۴ ) ممکن، تنها ۹ پریش وجود دارد که در آن ها هیچ دانشجویی برگهٔ خودش را نمی گیرد.
برای محاسبهٔ تعداد پریش ها، اصل متمم را به کار می بریم. نخست تعداد کل جایگشت های n تایی را می شماریم که برابر n ! است، و سپس با توجه به اصل متمم تعداد جایگشت هایی که دست کم یکی از آن ها در جای خودش باشد را از آن کم می کنیم که تعداد آن برابر است با
( n 1 ) ( n − 1 ) ! = n ! 1 !
و اکنون می بینیم جایگشت هایی که دو تا از آن ها در جای خودشان هستند دو بار کم شده اند. پس طبق اصل شمول و عدم شمول، یک بار دیگر آن ها را جمع می کنیم که تعداد آن ها برابر است با
( n 2 ) ( n − 2 ) ! = n ! 2 !
و می توان به همین ترتیب ادامه داد. پس تعداد کل پریش ها برابر است با
D ( n ) = n ! − n ! 1 ! + n ! 2 ! − . . . + ( − 1 ) n n ! n !
یا به عبارتی
D ( n ) = n ! ( 1 − 1 1 ! + 1 2 ! − . . . + ( − 1 ) n 1 n ! )
وقتی n به سمت ∞ میل می کند آن گاه مقدار
1 − 1 1 ! + 1 2 ! − . . . + ( − 1 ) n 1 n !
به سمت 1 e می رود پس تعداد کل پریش ها برابر می شود با
n ! e
