پارادوکس سنت پترزبورگ بر اساس یک بازی ساده با پرتاب یک سکه سالم شکل میگرد. میزان برد در این بازی یک متغیر تصادفی با امید ریاضی بی نهایت است و این پارادوکس زمانی برمی خیزد که با وجود نامتناهی بودن آن، بیشتر مردم حاضر نیستند مبلغ زیادی را برای ورود به این بازی بپردازند.
این معمای فلسفی و اقتصادی توسط نیکولاس برنولی در سال ۱۷۱۳ مطرح شد و دانیل برنولی اولین کسی بود که در سال ۱۷۳۸ این پارادوکس را مورد بحث و بررسی قرار داد.
این بازی قانون ساده ای دارد. در ابتدا شما باید مبلغ اولیه ای برای شروع بازی پرداخت کنید سپس از شما خواسته می شود تا یک سکه را پرتاب کنید. اگر اولین شیر در پرتاب اول حاصل شد، شما ۲ دلار برنده می شوید؛ اگر در پرتاب دوم هم حاصل شد، ۴ دلار برنده می شوید و به این ترتیب هر بار میزان برد ۲ برابر می شود. با خط آوردن از بازی خارج می شوید. حال سوال این است شما حداکثر چه مبلغی را برای شروع بازی پرداخت کنید تا بازی برای شما منصفانه باشد؟
احتمال شیر آمدن سکه در پرتاب اول 1 2 است. اگر اولین شیر در پرتاب دوم حاصل شود یعنی پرتاب اول به احتمال 1 2 خط بوده است. پس احتمال چنین رخدادی ( 1 2 ) ( 1 2 ) = ( 1 4 ) است. به همین ترتیب برای این که اولین شیر در پرتاب n ام بیاید n - 1 پرتاب اول باید خط باشند. پس احتمال این رخداد ( 1 2 ) n است.
امید ریاضی را برای متغیر تصادفی میزان برد برابر است با:
E = ∑ i = 1 ∞ x i p i = ( 1 2 ) ( 2 ) + ( 1 4 ) ( 4 ) + ( 1 8 ) ( 8 ) + ⋅ ⋅ ⋅ = 1 + 1 + 1 + ⋅ ⋅ ⋅ = ∞
امید ریاضی میزان مبلغ برد بی نهایت است. این به این معنی است که فرد بازی کننده باید هر مقدار پول اولیه برای ورود به بازی را بپذیرد چون این مقدار متناهی در هر صورت از بی نهایت کمتر است. در حالیکه که اکثر مردم حاضر به پرداخت بیش از ۲۵ دلار برای انجام بازی نیستند.
پارادوکس سنت پترزبورگ در واقع همین اختلاف بین امید ریاضی نامتناهی و مقدار پولی است که افراد حاضر به پرداخت برای انجام بازی می شوند.
معمولاً وقتی امید ریاضی به بی نهایت میل می کند، دیگر از امید ریاضی به عنوان معیار منصفانه بودن استفاده نمی شود ( در فضای غیر ارگودیک ) . در عوض از مفهوم جدیدی با عنوان مطلوبیت استفاده می شود. مطلوبیت یک اصطلاح اقتصادی است که به فایده و سودمندی حاصل شده اشاره دارد. به عنوان مثال در هنگام بردن ۲۰۰۰ دلار، بردن ۱۰۰۰ دلار اول مطلوبیت بیشتری نسبت به بردن ۱۰۰۰ دلار دوم دارد. یا اینکه اگر ۲ انسان فقیر و ثروتمند هر دو ۱۰۰۰ دلار برنده شوند، این برد برای فرد فقیر مطلوبیت بیشتری نسبت به فرد ثروتمند دارد.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاین معمای فلسفی و اقتصادی توسط نیکولاس برنولی در سال ۱۷۱۳ مطرح شد و دانیل برنولی اولین کسی بود که در سال ۱۷۳۸ این پارادوکس را مورد بحث و بررسی قرار داد.
این بازی قانون ساده ای دارد. در ابتدا شما باید مبلغ اولیه ای برای شروع بازی پرداخت کنید سپس از شما خواسته می شود تا یک سکه را پرتاب کنید. اگر اولین شیر در پرتاب اول حاصل شد، شما ۲ دلار برنده می شوید؛ اگر در پرتاب دوم هم حاصل شد، ۴ دلار برنده می شوید و به این ترتیب هر بار میزان برد ۲ برابر می شود. با خط آوردن از بازی خارج می شوید. حال سوال این است شما حداکثر چه مبلغی را برای شروع بازی پرداخت کنید تا بازی برای شما منصفانه باشد؟
احتمال شیر آمدن سکه در پرتاب اول 1 2 است. اگر اولین شیر در پرتاب دوم حاصل شود یعنی پرتاب اول به احتمال 1 2 خط بوده است. پس احتمال چنین رخدادی ( 1 2 ) ( 1 2 ) = ( 1 4 ) است. به همین ترتیب برای این که اولین شیر در پرتاب n ام بیاید n - 1 پرتاب اول باید خط باشند. پس احتمال این رخداد ( 1 2 ) n است.
امید ریاضی را برای متغیر تصادفی میزان برد برابر است با:
E = ∑ i = 1 ∞ x i p i = ( 1 2 ) ( 2 ) + ( 1 4 ) ( 4 ) + ( 1 8 ) ( 8 ) + ⋅ ⋅ ⋅ = 1 + 1 + 1 + ⋅ ⋅ ⋅ = ∞
امید ریاضی میزان مبلغ برد بی نهایت است. این به این معنی است که فرد بازی کننده باید هر مقدار پول اولیه برای ورود به بازی را بپذیرد چون این مقدار متناهی در هر صورت از بی نهایت کمتر است. در حالیکه که اکثر مردم حاضر به پرداخت بیش از ۲۵ دلار برای انجام بازی نیستند.
پارادوکس سنت پترزبورگ در واقع همین اختلاف بین امید ریاضی نامتناهی و مقدار پولی است که افراد حاضر به پرداخت برای انجام بازی می شوند.
معمولاً وقتی امید ریاضی به بی نهایت میل می کند، دیگر از امید ریاضی به عنوان معیار منصفانه بودن استفاده نمی شود ( در فضای غیر ارگودیک ) . در عوض از مفهوم جدیدی با عنوان مطلوبیت استفاده می شود. مطلوبیت یک اصطلاح اقتصادی است که به فایده و سودمندی حاصل شده اشاره دارد. به عنوان مثال در هنگام بردن ۲۰۰۰ دلار، بردن ۱۰۰۰ دلار اول مطلوبیت بیشتری نسبت به بردن ۱۰۰۰ دلار دوم دارد. یا اینکه اگر ۲ انسان فقیر و ثروتمند هر دو ۱۰۰۰ دلار برنده شوند، این برد برای فرد فقیر مطلوبیت بیشتری نسبت به فرد ثروتمند دارد.
wiki: پارادوکس سنت پترزبورگ