هرم ناقص

در هندسه، یک هرم ناقص [ ۱] یا بریده هرمی ( به انگلیسی: Frustum ) بخشی از یک چندوجهی ( به طور معمول یک مخروط یا هرم ) است که بین یک یا دو صفحه موازی برش آن قرار دارد. هرم ناقص راست، برش موازی هرم راست یا مخروط راست است. [ ۲]
اگر همه اضلاع برابر باشند، هرم ناقص یک منشور متحدالشکل است.
هرم ناقص از انواع منشوروار است. اگر دو هرم ناقص از قاعده به هم متصل شوند، دوهرم ناقص پدید می آید.
فرمول حجم یک هرم ناقص مربع توسط ریاضیات مصر باستان در آنچه پاپیروس ریاضی مسکو نامیده می شود، در سلسله سیزدهم ( حدود ۱۸۵۰ قبل از میلاد ) نوشته شد:
که در آن a و b طول قاعده و وجه مقابل قاعده هرم کوتاه شده است، و h ارتفاع است. مصریان فرمول صحیح بدست آوردن حجم هرم ناقص مربعی را می دانستند، اما هیچ اثبات این معادله در پاپیروس مسکو ارائه نشده است.
حجم هرم ناقص برابر حجم هرم قبل از برش دادن، منهای حجم هرم برش داده شده است:
که در آن B1 و B2 به ترتیب قواعد هرم أولیه و هرم بریده شده و h1 و h2 به ترتیب ارتفاع هرم أولیه و هرم بریده شده اند.
با توجه به اینکه:
فرمول حجم را می توان به عنوان محصولی از این تناسب α / ۳ و فقط اختلاف مکعب های h1 و h2 بیان کرد.
با فاکتورگیری اختلاف دو مکعب، a3 − b3 = ( a − b ) ( a2 + ab + b2 ) و یکی کردن h1 − h2 = h یا ارتفاع هرم ناقص است و αh12 + h1h2 + h22/3
بت توزیع α و جایگزینی از تعریف آن، میانگین هیرونی مناطق B1 و B2 بدست می آید؛ بنابراین فرمول جایگزین برابر این می شود:
هرون اسکندرانی برای استخراج این فرمول و مواجهه با یکه موهومی، ریشه مربع منفی ذکر شده است. [ ۳]
به طور اختصاصی حجم مخروط ناقص با قاعده دایره برابر است با:
که r1 و r2 شعاع دو قاعده آن هستند.
حجم هرم ناقص که قواعدش n - ضلعی منتظم است برابر است با:
که a1 و a2 طول ضلع قواعدند.
برای یک مخروط ناقص دایره ای راست:[ ۴] [ ۵]
مساحت جانبی برابر است با:
و مساحت کل برابر است با:
که r1 و r2 به ترتیب شعاع های قواعد بزرگ و کوچک و h سهم مخروط ناقص است.
مساحت کل هرم ناقصى که قواعدش n - ضلعی های منتظم مشابهند برابر با:
که a1 و a2 طول اضلاع دو قاعده اند.