نقطه حدی

در ریاضیات، نقطهٔ انباشتگی یا نقطهٔ حدیِ مجموعهٔ S در فضای توپولوژیک X، نقطه ای مانند x ( درون فضای X و نه لزوماً مجموعهٔ S ) است که هر همسایگی آن، شامل نقطه ای از S غیر از x باشد یا S را در نقطه ای بجز x قطع کند. توجه شود که در این تعریف همسایگی دلخواه نقطه حدی باید محذوف باشد ( یعنی شامل خود نقطه x نباشد ) همچنین نقطه حدی می تواند عضو مجموعه S باشد یا نباشد و این موضوع در تعریف مذکور تأثیری ندارد. مجموعهٔ نقاط حدی S را با 'S نشان می دهیم و به آن مجموعهٔ مشتق S می گوییم.
نقطهٔ حدی در تعریف مفاهیمی چون حد، بستار و مجموعه بسته پدیدار می گردد.
• با در نظر گرفتن خط حقیقی R {\displaystyle \mathbb {R} } ، اگر A = ( ۰٬۱] آنگاه نقطهٔ ۰ یک نقطهٔ حدی A است. همچنین ۱۲ نیز نقطه حدی دیگر آن است. در واقع هر نقطهٔ بازهٔ یک نقطه حدی A است؛ ولی هیچ عضو دیگر R {\displaystyle \mathbb {R} } نقطه حدی A نیست. [ ۱]
• یک مجموعه متناهی دارای نقطه حدی نیست. [ ۲]
• مجموعه نامتناهی N {\displaystyle \mathbb {N} } ( مجموعه اعداد طبیعی ) نقطه حدی ندارد. [ ۳]
• تنها نقطه حدی مجموعهٔ A = { 1 n : n ∈ N } {\displaystyle A=\left\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}} نقطهٔ ۰ است. هیچ یک از نقاط دیگر A نقطهٔ حدی آن نیست. [ ۴]
• فرض کنید ( M, d ) یک فضای متریک باشد، A ⊆ M و p ∈ M آن گاه احکام زیر معادلند:
•
• p یک نقطه حدی A است.
• هر همسایگی p شامل تعدادی نامتناهی نقطه از A است.
• دنباله ای مانند ( xn ) از نقاط A وجود دارد که همواره xn ≠ p ولی lim n → ∞ x n = p {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=p} . [ ۵]
• نقطهٔ p در فضای متری X را یک نقطهٔ تراکم مجموعهٔ E ⊂ X نامند هرگاه هر همسایگی p تعداد شمارش ناپذیری نقطه از E را داشته باشد. نقطه تراکم نوع خاصی از نقطه حدی است. [ ۶]
• هرگاه p ∈ S و p نقطهٔ حدی S نباشد، آنگاه p یک نقطهٔ تنهای S نام دارد.
• S بسته است هرگاه هر نقطهٔ حدی S یک نقطه از S باشد. [ ۷]
• S کامل است هرگاه S بسته و هر نقطهٔ آن یک نقطه حدی آن باشد. [ ۸]