نظریه پایداری

در ریاضیات، نظریهٔ پایداری، پایداریِ پاسخ معادلاتِ دیفرانسیل و مسیر حالت سیستم های دینامیکی را تحت انحرافات کوچک از شرایط اولیه مورد بحث قرار می دهد. در حالت کلی یک قضیه پایدار است اگر انحرافی کوچک در فرضِ مسئله باعث انحرافی کوچک در نتیجه شود. باید توجه داشت که برای تعیین اندازهٔ تغییرات نیاز به تعریفِ متری مشخص است که به عنوان مثال در معادلات دیفرانسیلِ معمولی، این متر می تواند نرمِ L p در نظر گرفته شود. در سیستم های دینامیکی، یک زیر مجموعه از فضای فاز پایدارِ لیاپانوف نامیده می شود اگر بتوان فاصله ای از نقطه تعادل یافت که با قرار دادنِ شرایط اولیه برای حالت های سیستم درون آن، حالت های سیستم برای زمان های بعد درون دیسکی با شعاعِ به اندازه دلخواه کوچک قرار گیرند. معیارهای مختلفی وجود دارد که به کمک آنها بتوان پایداری یا ناپایداریِ مجموعه نقاطی از فضای حالت سیستم را اثبات نمود. به عنوان مثال در نمایش فضای حالتِ سیستم های خطیِ تغییر ناپذیر با زمان، سؤال در مورد پایداریِ سیستم به مسئله ای در بر گیرندهٔ مقادیر ویژهٔ ماتریس ها تقلیل می یابد. روشی کلّی تر برای اثبات پایداری سیستم های دینامیکی، در بر گیرندهٔ توابعِ لیاپانوف است.