در ریاضیات، نابرابری میانگین حسابی - هندسی[ E ۱] یا نابرابری تیریث، نابرابری ای است که در آن میانگین حسابی فهرستی از اعداد نامنفی حقیقی، بزرگتر یا مساوی میانگین هندسی آن اعداد است. این دو با هم برابر می شوند، اگر و تنها اگر همهٔ عبارات با یک دیگر برابر باشند.
میانگین حسابی فهرستی از n عدد است ( x۱، x۲، . . . ، xn ) . حالت کسری تقسیم مجموع اعداد بر عدد n برابر است با:
میانگین هندسی شبیه مورد قبلی است، ولی تنها برای اعداد نامنفی حقیقی تعریف می شود. میانگین هندسی با جایگزینی ضرب و ریشه گیری به جای جمع و تقسیم در میان عبارات بالا به دست می آید:
اگر x۱، x۲، . . . ، xn > ۰ باشند، با تابع نمایی میانگین حسابی لگاریتم های طبیعی اعداد برابر خواهد شد:
اینک ما این نابرابری را با نمادهای ریاضی معرفی می کنیم، ما می توانیم هر فهرست n تایی از اعداد نامنفی حقیقی انتخاب کنیم. ( x۱، x۲، . . . ، xn )
و حالت تساوی وقتی رخ می دهد؛ اگر و تنها اگر x۱ = x۲ = . . . = xn باشند.
اثبات زیر به طور مستقیم به قوانین حساب متکی است. این روش توسط آگوستین لویی کوشی مطرح شده و می توان این اثبات را در کورس ده آنالایز[ E ۲] وی یافت
وقتی که همهٔ جملات با هم برابر باشند:
پس جمع آن ها nx۱، میانگین حسابی آن ها x۱ و عدد زیر رادیکال x۱n می باشد. هم چنین میانگین هندسی آن ها x۱ است؛ از این رو، نابرابری میانگین حسابی - هندسی برای این حالت اثبات می شود.
حالا حالتی که همه جملات باهم برابر نباشند مطرح می شود. باید نشان دهیم که میانگین حسابی اعداد از میانگین هندسیشان بیشتر است. بدیهی است، این حالت وقتی درست است که n > ۱ باشد.
این حالت به طور قابل توجهی پیچیده تر است، به همین دلیل آن را در چند قسمت مورد بررسی قرار می دهیم.
اگر n = ۲، سپس دو جمله داریم، x۱ و x۲، بعد از آن ( به وسیلهٔ فرضی که در اختیار داریم ) همهٔ جملات با هم برابر نیستند، ما داریم:
پس حکم اثبات می شود.
حالتی را در نظر بگیرید که n = ۲k باشد، وقتی که k عدد صحیح مثبتی باشد. ما به کمک استقرای ریاضی به اثبات این مورد می پردازیم.
برای پایه استقرا k = ۱ قرار می دهیم، بنابراین n = ۲ است. ما قبلاً نشان داده ایم نابرابری، وقتی که n = ۲ باشد، ایجاد می شود. پس ما در گام استقرا مشکلی نداریم.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفمیانگین حسابی فهرستی از n عدد است ( x۱، x۲، . . . ، xn ) . حالت کسری تقسیم مجموع اعداد بر عدد n برابر است با:
میانگین هندسی شبیه مورد قبلی است، ولی تنها برای اعداد نامنفی حقیقی تعریف می شود. میانگین هندسی با جایگزینی ضرب و ریشه گیری به جای جمع و تقسیم در میان عبارات بالا به دست می آید:
اگر x۱، x۲، . . . ، xn > ۰ باشند، با تابع نمایی میانگین حسابی لگاریتم های طبیعی اعداد برابر خواهد شد:
اینک ما این نابرابری را با نمادهای ریاضی معرفی می کنیم، ما می توانیم هر فهرست n تایی از اعداد نامنفی حقیقی انتخاب کنیم. ( x۱، x۲، . . . ، xn )
و حالت تساوی وقتی رخ می دهد؛ اگر و تنها اگر x۱ = x۲ = . . . = xn باشند.
اثبات زیر به طور مستقیم به قوانین حساب متکی است. این روش توسط آگوستین لویی کوشی مطرح شده و می توان این اثبات را در کورس ده آنالایز[ E ۲] وی یافت
وقتی که همهٔ جملات با هم برابر باشند:
پس جمع آن ها nx۱، میانگین حسابی آن ها x۱ و عدد زیر رادیکال x۱n می باشد. هم چنین میانگین هندسی آن ها x۱ است؛ از این رو، نابرابری میانگین حسابی - هندسی برای این حالت اثبات می شود.
حالا حالتی که همه جملات باهم برابر نباشند مطرح می شود. باید نشان دهیم که میانگین حسابی اعداد از میانگین هندسیشان بیشتر است. بدیهی است، این حالت وقتی درست است که n > ۱ باشد.
این حالت به طور قابل توجهی پیچیده تر است، به همین دلیل آن را در چند قسمت مورد بررسی قرار می دهیم.
اگر n = ۲، سپس دو جمله داریم، x۱ و x۲، بعد از آن ( به وسیلهٔ فرضی که در اختیار داریم ) همهٔ جملات با هم برابر نیستند، ما داریم:
پس حکم اثبات می شود.
حالتی را در نظر بگیرید که n = ۲k باشد، وقتی که k عدد صحیح مثبتی باشد. ما به کمک استقرای ریاضی به اثبات این مورد می پردازیم.
برای پایه استقرا k = ۱ قرار می دهیم، بنابراین n = ۲ است. ما قبلاً نشان داده ایم نابرابری، وقتی که n = ۲ باشد، ایجاد می شود. پس ما در گام استقرا مشکلی نداریم.
