معادله ی دیراک در فضا زمان خمیده

در ریاضی فیزیک، معادله دیراک در فضازمان منحنی تعمیم معادله دیراک از فضازمان تخت ( فضای مینکوفسکی ) به فضازمان منحنی یا یک خمینهٔ کلی لورنتسی است.
به طور خیلی کلی می توان معادله را بر روی خمینهٔ M یا یک خمینهٔ شبه ریمانی ( M , g ) ، تعریف کرد اما برای سادگی خود را به یک خمینهٔ شبه ریمانی با مشخصهٔ ( − + + + ) محدود می کنیم. در نمادگذاری نمایه انتزاعیمتریک به صورت g ، یا g a b نوشته می شود.
ما از یک مجموعه وربین یا همان میدان های قابی { e μ } = { e 0 , e 1 , e 2 , e 3 } استفاده می کنیم، که مجموعه ای از میدان های برداری هستند ( که لزوماً به صورت کلی بر روی M تعریف نشده است ) . معادله تعیین کننده آنها عبارت است از:
وربین یک قاب موضعی و ساکن را تعریف می کند که به ماتریس های گامای ثابت اجازه می دهد روی هر نقطهٔ فضازمان عمل کنند.
در زبان هندسی دیفرانسیل، وربین معادل بخشی از کلاف قابی است، و بنابراین یک کلاف تاری ( trivialization ) موضعی از کلاف قابی را تعریف می کند.
برای نوشتن معادله دیراک در فضای خمیده به پیوستگی اسپین نیاز داریم که به پیوستگی یک شکلی ( form - 1 ) نیز معروف است. میدان های قاب دوگان { e μ } رابطه تعریف شدهٔ زیر را دارد:
بنابراین پیوستگی یک شکلی عبارت است از:
که ∇ a یک مشتق هموردا یا به طور معادل انتخابی از اتصاق روی کلاف قاب است که اغلب به عنوان اتصاق لوی چیویتا در نظر گرفته می شود.