معادله پواسن

معادله پواسن یک معادله دیفرانسیل جزئی از نوع بیضوی در ریاضیات است که به طور گسترده در مهندسی مکانیک و فیزیک نظری کاربرد دارد. مثلا در توصیف میدان پتانسیلی حاصل از یک بار یا چگالی جرم مشخصی ظاهر می شود ؛ برای یک میدان پتانسیلی مشخص میتوان میدان الکترواستاتیکی یا گرانشی را محاسبه کرد. این معادله تعمیم معادلات لاپلاس است که به وفور در فیزیک ظاهر می شود. این اسم به افتخار ریاضی و هندسه دان فرانسوی، سیمون دنی پواسون نام گذاری شده است. [ ۱]
که در آن Δ عملگر لاپلاس است و f و φ توابعی با مقادیر حقیقی یا مختلط روی یک منیفلد هستند. معمولا f داده شده و φ خواسته می شود. وقتی منیفلد فضای اقلیدسی است ، عملگر لاپلاس بصورت ∇2 مشخص می شود بنابراین معادلهٔ پواسن عموماً به صورت زیر نوشته می شود:
در مختصات کارتزین سه بعدی، این معادله را می توان به فرم زیر نوشت:
وقتی f = 0 این همان معادله لاپلاس خواهد بود. ( در واقع معادلهٔ لاپلاس حالت خاصی از معادلهٔ پواسن است ولی با توجه به اینکه حل معادلهٔ لاپلاس بسیار راحتر از معادلهٔ پواسن است، آنها را از یکدیگر تمیز می دهند )
معادلّهٔ پواسن را می توان با استفاده از تابع گرین حل کرد.
مسائل زیادی در الکتروستاتیک و الکترومغناطیس وجود دارند که با استفاده از این معادله توصیف می شوند. لازم است ذکر شود که در نقاطی که بار آزاد وجود ندارد معادله پواسن به معادله لاپلاس تبدیل می شود. [ ۲]
قانون گاوس:
که در آن ∇ ⋅ دیورژانس، D میدان جابجایی الکتریکی و ρf چگالی بار آزاد است.
در حالت خاصی D را می توان به فرم زیر نوشت:
در غیاب میدان مغناطیسی متغیر، طبق قانون فارادی داریم:
که ∇ × عملگر کرل و t زمان است.