معادله موج الکترومغناطیس

معادله موج الکترومغناطیس دومین حکم دیفرانسیل جزئی معادله است که انتشار موج های الکترومغناطیس را در محیط مادی یا خلاء توصیف می کند. فرم همگن این معادله به هر دو شکل میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B نوشته می شود:
( v p h 2 ∇ 2 − ∂ 2 ∂ t 2 ) E = 0 ( v p h 2 ∇ 2 − ∂ 2 ∂ t 2 ) B = 0 در اینجا c = 1 μ ϵ سرعت نور است ²∇ عملگر لاپلاس است. در خلاء c = c0 = 299, 792, 458 متر بر ثانیه است. معادله موج الکترومغناطیس از معادله ماکسول پیروی می کند. باید به این نکته توجه کرد که در متون گذشته B چگالی جریان مغناطیسی یا القای مغناطیسی نامیده میشد.
توزیع بار نیازمند آن است که زمان سرعت تغییرات بار کل در یک حجم V با جریان خالص جاری در سطح بسته s برابر باشد:
در اینجا J چگالی خالص ( آمپر بر مترمربع ) جریان در سطح بسته و ρ چگالی شارژ ( کولن بر متر مکعب ) در هر نقطه از حجم است. طبق قضیه دیورژانس این رابطه می تواند از فرم انتگرالی به دیفرانسیلی تبدیل شود.
قانون قبلی مداری آمپر به تصحیح ماکسول در شکل اصلی آن، قانون مداری آمپر با میدان مغناطیسی B بواسطه J رابطه دارد:
در اینجا S یک سطح باز محدود شده در خط منحنی C است. این شکل انتگرالی با بکار بردن قضیه استوکس می تواند به شکل دیفرانسیلی تبدیل شود:
تناقض بین قانون مداری آمپر و قانون توزیع بار: با گرفتن دیورژانس از هر دو طرف قانون مداری آمپر داریم:
دیورژانس کرل هر میدان برداری، شامل میدان مغناطیسی B همیشه برابر صفر است:
با بهم پیوستن این دو معادله داریم:
زیرا   μ 0 یک ثابت غیر صفر است. پس به این ترتیب
به هرحال با توجه به قانون توزیع بار داریم:
بنابراین، همانند قانون مداری کیرشهف، قانون مداری آمپر تنها برای حفظ وضعیت درگیر چگالی بار ثابت باید پدیدار شود. ( نباید مانند وضعیتی که در شارژ و دشارژ صفحه خازن رخ می دهد، باشد. )
ماکسول تصور می کرد که برقراری جریان در اتصال با قطبش خطی یک دی الکتریک است. توجیه این بسط واقعی جابجایی جریان چنانچه در زیر آمده؛ شرح قانون گاوس در شکل انتگرالی:
در اینجا S سطح بسته در حجم V است. با بکار بردن قضیه دیورژانس این شکل انتگرالی می تواند به شکل دیفرانسیلی تبدیل شود:
با مشتق گیری زمانی از هر دو طرف معادله و معکوس کردن دیفرانسیل در سمت چپ داریم: