معادله دیفرانسیل تصادفی

یک معادلهٔ دیفرانسیل تصادفی یا Stochastic Differential Equation یا SDE معادله ای است که در آن یک یا چند متغیر یک فرایند تصادفی هستند. در نهایت جواب این نوع معادلات خود نیز یک فرایند تصادفی هستند. استفاده از SDE ها در مدل سازی های پیچیدهٔ احتمال بسیار گسترده است؛ از جمله در مدل سازی هزینهٔ نوسانات بازار یا مدل سازی فیزیکی نوسانات دمایی اشیا. معمولاً در این گونه مدل سازی ها از نویز سفید به عنوان پارامتر کاملاً تصادفی استفاده می شود که خود نوعی از فرایند تصادفی وینر ( Wiener Process ) است. اگرچه باید گفت که در مدل سازی تصادفی پارامترها در یک معادلهٔ دیفرانسیل تصادفی، استفاده از سایر فرایندهای تصادفی نیز امکان پذیر است.
قدیمی ترین کار در مورد SDE برای توصیف مقالهٔ مشهور آلبرت اینشتین برای توصیف حرکت براونی انجام شد. اگرچه هم زمان کارهایی هم توسط افراد دیگر در زمینه ی های مشابه انجام می شده است.
پاسخ عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی، بخصوص معادلات دیفرانسیل تصادفی پاره ای، به نسبت نسخه های غیرتصادفی، زمینه ای بسیار جدید است. تقریباً اکثر الگوریتم هایی که جواب های نسبتاً مناسبی برای معادلات دیرنسیل معمولی به دست می دهند، جواب هایی بسیار ضعیف در برابر نسخهٔ تصادفی آن دارند. یکی از مشهورترین کتاب ها برای این دسته از مسئله ها، کتاب Kloeden & Platen ( 1995 ) است. از جملهٔ راه حل های معرفی شده، روش اویلر - مارویاما ( Euler–Maruyama method ) ، روش میلستین ( Milstein method ) و روش رنگه - کوتا برای معادلات دیفرانسیل تصادفی ( Runge–Kutta method ( SDE ) ) هستند.
معمولاً در فیزیک این معادلات به صورت معادلات لانگوین ( Langevin equation ) نوشته می شوند. به عنوان مثال، نمونه ای از معادلات دیفرانسیل تصادفی درجه اول به فرم زیر نوشته می شوند:
که در آن x = { x i | 1 ≤ i ≤ k } مجموعه ای از مجهولات، f i و g i توابعی دلخواه، η m توابع تصادفی از زمان هستند که معمولاً نویز نامیده می شوند.
این معادله در حالت یک بعدی به صورت زیر می باشد .
d x t = μ d t + σ d B t
در این معادله ضریب میو مقداری ثابت و همچنین سیگما نیز عددی ثابت می باشد .