معادلات دیفرانسیل تاخیری

در ریاضیات معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری به معادلهٔ دیفرانسیلی گفته می شود که در آن مشتقات تابع مجهول در یک زمان مشخص بر حسب تابع و مشتقات آن در زمان ها و مکان های پیشین خود داده می شود. سیستم های با معادلات دیفرانسیل تاخیری را عموماً سیستم های زمان - تاخیری می گویند.
یک معادلهٔ دیفرانسیل تاخیریِ معمولی، به صورت کلی به فرم زیر نوشته می شود.
x ′ ( t ) = f ( t , x ( t ) , x ( t − τ 1 ) , . . . , x ( t − τ m ) , x ′ ( t − σ 1 ) , . . . , x ′ ( t − σ n ) ) ; t ≥ t 0
که در این معادله شرط اولیه، توسط یک تابع تاریخچهٔ آغازین مشخص می شود. این تابع تاریخچهٔ آغازین به شکل زیر است.
x ( t ) = ϕ ( t ) ; t ≤ t 0
در این حالت به ازای هر 1 ≤ i ≤ m و 1 ≤ j ≤ n ، τ i ها و σ j ها را تاخیرهای زمانی می نامند. علاوه بر این اگر معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری دارای تاخیرهای σ j باشد، آنگاه آن معادلهٔ دیفرانسیل را یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری خنثی می نامیم. یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری همانند یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی یا یک معادلهٔ دیفرانسیل جزئی می تواند بدون پاسخ یا دارای بی نهایت پاسخ باشد. برای یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری تنها زمانی پاسخ منحصر به فرد موجود است، که شرایط اولیهٔ مناسب در کنار آن الحاق شود.
• تأخیر گسسته ( عدد ثابت )
در این حالت تاخیرهای زمانی به صورت یک عدد ثابت نمایان می شود.
• تأخیر به صورت تابعی بر حسب زمان
در این حالت، معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری بدون شرط آغازین به شکل کلی زیر است:
x ′ ( t ) = f ( t , x ( t ) , x ′ ( t − τ ( t ) ) ) ; t ≥ t 0
و شرط آغازین عبارت است از:
• تأخیر به صورت تابعی برحسب زمان و مکان
در این حالت، معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری به صورت زیر است.
x ′ ( t ) = f ( t , x ( t ) , x ′ ( t − τ ( t , x ( t ) ) ) )
• تأخیر پیوسته ( انتگرالی )
x ′ ( t ) = f ( t , x ( t ) , ∫ − ∞ t 0 x ( t + τ ) d μ ) ; t ≥ t 0
معادلات دیفرانسیل تاخیری عموماً گام به گام و توسط روشی که به روش گام ها معروف است، حل می شوند. برای مثال یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری با تأخیر ثابت را در نظر بگیرید.