معادلات اب کم عمق

معادلات آب کم عمق. معادلات آب کم عمق ( که شکل یک بعدی آن، معادلات سن ونان نیز خوانده می شود ) مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل هذلولوی با مشتقات جزئی ( یا سهموی در صورت در نظر گرفتن تنش برشی لزج ) است که جریان تحت فشار در یک سیال را توصیف می کند.
این معادلات از معادلات ناویه - استوکس متوسط گیری شده در عمق، در شرایطی که مقیاس افقی بسیار بزرگ تر از مقیاس عمودی باشد، استخراج شده اند. [ ۱] بر پایهٔ این شرط، باید سرعت قائم سیال اندک باشد تا پایستگی جرم برقرار بماند. می توان از معادلهٔ اندازهٔ حرکت نشان داد که گردایان فشار قائم تقریباً هیدرواستاتیک می ماند و گرادیان فشار افقی وابسته به تغییرات سطح فشار است و نتیجهٔ آن، ثابت بودن سرعت افقی در عمق سیال است. با متوسط گیری در عمق، می توان سرعت قائم را از معادلات حذف کرد.
با این که از سرعت قائم چشم پوشی می شود، ولی این سرعت لزوماً صفر نیست. برای نمونه، هنگامی که تراز بستر تغییر می کند، سرعت قائم نمی تواند برابر صفر باشد و اگر شرط صفر بودن الزامی بود، معادلات آب کم عمق تنها روی بستر افقی برقرار بود. پس از به دست آمدن پاسخ، می توان سرعت قائم را از معادلهٔ پیوستگی به دست آورد.
در دینامیک سیالات، نمونه های زیادی از ناچیز بودن مقیاس عمودی نسبت به مقیاس افقی وجود دارد؛ بنابراین معادلات آب کم عمق، کاربرد زیادی دارند. این معادلات در مدل سازی جوی و اقیانوسی به همراه نیروهای کوریولیس برای ساده سازی معادلات اولیهٔ جریان جوی به کار می روند.
معادلات آب کم عمق از معادلات پایستگی جرم و پایستگی تکانهٔ خطی ( معادلات ناویه - استوکس ) استخراج می شوند. در نبود نیروهای کوریولیس، اصطکاکی و لزجت، معادلات آب کم عمق به صورت زیر هستند:
∂ η ∂ t + ∂ ( η u ) ∂ x + ∂ ( η v ) ∂ y = 0 ∂ ( η u ) ∂ t + ∂ ∂ x ( η u 2 + 1 2 g η 2 ) + ∂ ( η u v ) ∂ y = 0 ∂ ( η v ) ∂ t + ∂ ( η u v ) ∂ x + ∂ ∂ y ( η v 2 + 1 2 g η 2 ) = 0.
که در آن η ارتفاع ستون سیال و H عمق آب ساکن هستند. u و v سرعت های افقی متوسط گیری شده در عمق و g شتاب گرانش هستند. معادلهٔ اول از پایستگی جرم و معادلهٔ دوم از پایستگی تکانه مشتق شده اند. [ ۲]