مساحت دایره

در هندسه، مساحت دایره ( یا به عبارت دقیق تر مساحت قرص دایره ) برابر است با حاصلضرب «مساحت مربعی که ضلعش برابر شعاع دایره است» در «نسبت محیط دایره به قطر آن» ( که همیشه عددی ثابت است و با حرف π نشان داده می شود ) . یعنی:
دایره حداکثر مساحت ممکن برای مقدار معین محیط را دارد. [ ۱] و همچنین در این فرمول r به معنای شعاع دایره می باشد.
باید توجه داشت که عدد پی عددی گنگ است و قابل محاسبه نیست به همین خاطر محاسبه مساحت دایره عددی تقریبی خواهد بود و دقیق نیست
مساحت دایره بر اساس محیط و شعاع آن تعیین می شود. اگر یک دایرهٔ مفروض به چهار قطاع مساوی تقسیم شود:
و به صورت زیر کنار هم چیده شود:
مشاهده می شود که شکل حاصل نامتعارف است. اما اگر دایرهٔ مفروض به قطاع های بیشتری تقسیم شود و همین روند ادامه یابد، مشاهده می شود که شکل به دست آمده به متوازی الأضلاع نزدیک می شود. به عنوان نمونه در مرحله ای که دایره مفروض به هشت قطاع مساوی تقسیم می شود، حاصل شکل زیر خواهد بود ( که به متوازی الأضلاع نزدیک تر است ) :
اگر فرض را بر این باشد که دایره به تعداد بی شمار قطاع مساوی مساوی تقسیم شده است، آن گاه شکل حاصل متوازی الأضلاعی خواهد بود که به مستطیل خیلی نزدیک است. [ ۲] با دانستن اینکه مساحت این متوازی الأضلاع با دایرهٔ مفروض برابر است، با ضرب کردن ارتفاع متوازی الأضلاع ( که همان شعاع دایره است ) در ضلع بزرگ متوازی الأضلاع مساحت دایره به دست می آید. قابل توجه است که اضلاع بزرگ متوازی الأضلاع همان کمان های نظیر قطاع ها را تشکیل می دهند؛ پس می شود گفت که هر ضلع بزرگ متوازی الأضلاع برابر با نصف محیط دایرهٔ مفروض خواهد بود؛ یعنی اندازهٔ آن C 2 = 2 π r 2 = π r خواهد بود. اندازهٔ ضلع کوچک متوازی الأضلاع هم که r ( شعاع دایره ) است، پس مساحت دایره A = r × π r = π r 2 خواهد بود. [ ۳]
این اثبات را می توان با استفاده از مختصات قطبی به شکل صوری زیر نوشت:[ ۴]
مشابه اثبات به روش پیازی فرض کنید دوایر متحد المرکز را باز می کنیم تا به یکسری نوار تبدبل شوند این نوارها یک مثلث قائم الزاویه به ارتفاع r و قاعدهٔ ۲πr تشکیل می دهند.
مساحت این مثلث را حساب می کنیم:
Area = 1 2 ⋅ base ⋅ height = 1 2 ⋅ 2 π r ⋅ r = π r 2