مسئله مقدار مرزی

مسئله مقدار مرزی عنوان دسته ای از مسائل ریاضیات است که در آن ها به حل معادلات دیفرانسیلی می پردازند که پاسخ معادله می باید در نقاط مرزیِ یک مجموعهٔ مفروض، شرایط مشخص شده را دارا باشد. [ ۱] جواب یک مسئله مقدار مرزی، پاسخی از معادله ی دیفرانسیل است که شرایط مرزی مسئله را ارضا می کند. مسائل مقدار مرزی در شاخه های مختلفی از فیزیک ظاهر می شوند. مسائلی شامل معادلات موج، مثلاً یافتن مدهای نرمال[ ۲] اغلب به عنوان یک مسئله ی مقدار مرزی شناخته می شود. دسته ی بزرگی از مسائل مهم مقدار مرزی، مسئله های اشتورم - لیوویل هستند.
مثالی از یک مسئلهٔ مقدار مرزی به صورت
را در نظر بگیرید که هدف حل آن برای یافتن تابع مجهول y ( x ) با استفاده از شرایط اولیهٔ
است. بدون داشتن شرایط مرزی، جواب عمومی معادله به صورت زیر قابل محاسبه است:
با در نظر گرفتن شرط y ( 0 ) = 0
که نتیجه می دهد B = 0 ؛ و با توجه به شرط y ( π / 2 ) = 2 داریم:
پس A = 2 . همانطور که مشخص است، با اعمال شرایط مرزی از جواب عمومی به یک جواب اختصاصی رسیدیم که در این مورد به صورت زیر خواهد بود:
معادلات دیفرانسیل، شرایط مرزی به آن دسته از شرایطی گفته می شود که در یک مسئله مقدار مرزی اعمال می شود.
شرایط مرزی در معادلات دیفرانسیل به آن دسته از شرایطی گفته می شود که روی پاسخ معادله در مرزها اعمال می شود.
شرط مرزی دیریکله یا شرط مرزی نوع اول [ ۳] ، دسته ای از شرایط مرزی است که به افتخار دیریکله هنگامی که این شرط را بر معادلات دیفرانسیل جزیی و معادلات دیفرانسیل عادی اعمال کرد تا جواب مسئله را پیدا کند، نام گذاری شده است. در علوم کاربردی به شرط مرزی دیریکله، شرط مرزی ثابت نیز گفته می شود.
L u = f در ناحیه Ω ⊂ R n
u = g روی ناحیه ∂ Ω
معادله ی دیفرانسیل عادی زیر را در نظر بگیرید.
y ″ ( x ) + y ( x ) = 0
شرط مرزی دیریکله برای این معادله برای x ∈ به فرم زیر است.
y ( a ) = α
y ( b ) = β
که α و β مقادیر ثابت اند.
معادله ی دیفرانسیل جزئی زیر را در نظر بگیرید.
∇ 2 y + y = 0
که در این جا ∇ 2 عملگر لاپلاسین است. شرط مرزی دیریکله روی ناحیه ی Ω به فرم زیر است.
y ( x ) = f ( x )