مسئله مقدار اولیه

مسئلهٔ مقدار اولیه یا مسئلهٔ مقدار آغازی به مسئله ای در ریاضیات گفته می شود که در آن هدف یافتن پاسخی از یک معادلهٔ دیفرانسیل است به طوری که این پاسخ در نقطه ای مفروض شرایط مشخصی را دارا باشد. [ ۱] مسائل مقدار اولیه در شاخه های مختلفی از علم ظاهر می شود. مثلا معادلات حرکت نیوتونی در فیزیک، نمونه ای از مسائل مقدار اولیه هستند. هدف این دسته از معادلات یافتن تحول سیستم با زمان بر اساس شرایط اولیه است.
یک مثال ساده می تواند حل معادلهٔ دیفرانسیل y ′ = 0. 85 y با y ( 0 ) = 19 باشد. هدف یافتن y ( t ) به گونه ای است که در هر دو برابری صدق کند.
با توجه به اینکه y ′ = d y d t ، پس
با بازچینی معادله به طوری که y در سمت چپ و t در سمت راست قرار بگیرد
با انتگرال گیری از دو طرف ( که با واردشدن ثابت نامعلوم B همراه است )
حذف ln
با انتخاب ثابت نامعلوم جدید C ، C = ± e B ، پس
حال باید پاسخی برای C پیدا کرد. از شرط y ( 0 ) = 19 استفاده می کنیم و 0 جای t و 19 را جای y می گذاریم
و به پاسخ نهایی y ( t ) = 19 e 0. 85 t می رسیم.
پاسخ
به صورت زیر خواهد بود:
که می توان درستی این پاسخ را به این صورت بررسی کرد:
مسائل مقدار اولیه در معادلات دیفرانسیل، به معادلات انتگرال ولترا منجر می شوند. بحث خود را با معادله ی ساده ی زیر ادامه می دهیم. [ ۲]
y ″ + A ( x ) y ′ + B ( x ) y = F ( x )
y ( a ) = q 0 , y ′ ( a ) = q 1
A ( x ) , B ( x ) , F ( x ) توابع پیوسته در بازه ی هستند. با یک بار انتگرال گیری از این معادله داریم:
y ′ ( x ) − q 1 = − A ( x ) y ( x ) − ∫ a x y ( x ′ ) d x ′ + ∫ a x F ( x ′ ) d x ′ + A ( a ) q 0
با انتگرال گیری دوباره از رابطه ی بالا داریم:
y ( x ) − q 0 = − ∫ a x A ( x ′ ) y ( x ′ ) d x ′ − ∫ a x ∫ a x 1 y ( x ′ ) d x ′ d x 1 + ∫ a x ∫ a x 1 F ( x ′ ) d x ′ d x 1 + ( x − a )
با استفاده از رابطه زیر، انتگرال بالا را ساده می کنیم.
∫ a x ∫ a x 1 F ( x ′ ) d x ′ d x 1 = ∫ a x ( x − t ) F ( t ) d t