مسئله سه زندانی یکی از پارادوکس های معروف نظریه احتمالات است که زمانی که مطرح شد جنجال زیادی در بین پاسخ دهندگان به وجود آورد.
این مسئله اولین بار در سال ۱۹۵۹ توسط مارتین گاردنر در مجلهٔ علمی Scientific American مطرح شد. بعدها پارادوکس معروف مونتی هال به بحث گذاشته شد که تشابه بسیاری با این مسئله داشت صرفاً با این تفاوت که به جای ماشین و گوزن، اعدام و بخشش وجود دارد.
همچنین عده ای معتقدند این مسئله بر پایه مسئله سه کارت است. [ ۱]
صورت این مسئله به شرح زیر است:فرض کنید سه زندانی B , A و C در سلول های جداگانه نگهداری می شوند و هر ۳ نفر محکوم به مرگ هستند. قاضی یکی از آن ها را به صورت تصادفی انتخاب می کند و او را مورد بخشش قرار می دهد. زندان بان می داند که کدام زندانی بخشیده شده ولی حق گفتن آن را ندارد. زندانی A به او اصرار می کند که به صورت زیر نام یکی از زندانیانی که اعدام می شود را بگوید:
• اگر B بخشیده شده است، نام C را بگوید.
• اگر C بخشیده شده است، نام B را بگوید.
• اگر خودش بخشیده شده است، زندان بان یک سکه پرتاب کرده و به تصادف نام B یا C را بگوید.
زندان بان می گوید که B اعدام خواهد شد. زندانی A از این گفته خوشحال شده و فکر می کند که احتمال بخشش او افزایش یافته است زیرا اکنون فقط او و C شانس بخشش دارند. A این خبر را به C می گوید و او نیز خوشحال می شود زیرا فکر می کند شانس A ثابت مانده ولی شانس او افزایش یافته است. حال کدام یک درست فکر می کنند؟[ ۲]
برای پاسخ ابتدا بررسی می کنیم که در چه حالت هایی زندان بان نام B را به عنوان اعدامی می گوید:
• C بخشیده شده است. ( احتمال این حالت: ۱/۳ )
• A بخشیده شده است ( احتمال: ۱/۳ ) و سپس سکه انداخته شده و نام B گفته شده است ( احتمال: ۱/۲ ) . ( احتمال این حالت: ۱/۶ )
پس می توان نتیجه گرفت که زمانی که زندان بان نام B را گفته، احتمال بخشیده شدن C دو برابر احتمال بخشیده شدن A است. این یعنی شانس A برای بخشیده شدن هنوز همان ۱/۳ ولی شانس C برای بخشیده شدن برابر ۲/۳ است.
برای بیان این مسئله به صورت ریاضی از قانون بیز استفاده می کنیم. رخداد a را برابر گفته شدن نام A توسط زندان بان ( به همین ترتیب b و c ) و رخداد A را برابر بخشیده شدن A ( به همین ترتیب B و C ) در نظر می گیریم:
P ( A | b ) = P ( b | A ) ∗ P ( A ) P ( b | A ) ∗ P ( A ) + P ( b | B ) ∗ P ( B ) + P ( b | C ) ∗ P ( C ) : احتمال بخشیده شدن A در صورت گفتن نام B ۱/۳ = = 1 / 2 ∗ 1 / 3 1 / 2 ∗ 1 / 3 + 0 ∗ 1 / 3 + 1 ∗ 1 / 3
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاین مسئله اولین بار در سال ۱۹۵۹ توسط مارتین گاردنر در مجلهٔ علمی Scientific American مطرح شد. بعدها پارادوکس معروف مونتی هال به بحث گذاشته شد که تشابه بسیاری با این مسئله داشت صرفاً با این تفاوت که به جای ماشین و گوزن، اعدام و بخشش وجود دارد.
همچنین عده ای معتقدند این مسئله بر پایه مسئله سه کارت است. [ ۱]
صورت این مسئله به شرح زیر است:فرض کنید سه زندانی B , A و C در سلول های جداگانه نگهداری می شوند و هر ۳ نفر محکوم به مرگ هستند. قاضی یکی از آن ها را به صورت تصادفی انتخاب می کند و او را مورد بخشش قرار می دهد. زندان بان می داند که کدام زندانی بخشیده شده ولی حق گفتن آن را ندارد. زندانی A به او اصرار می کند که به صورت زیر نام یکی از زندانیانی که اعدام می شود را بگوید:
• اگر B بخشیده شده است، نام C را بگوید.
• اگر C بخشیده شده است، نام B را بگوید.
• اگر خودش بخشیده شده است، زندان بان یک سکه پرتاب کرده و به تصادف نام B یا C را بگوید.
زندان بان می گوید که B اعدام خواهد شد. زندانی A از این گفته خوشحال شده و فکر می کند که احتمال بخشش او افزایش یافته است زیرا اکنون فقط او و C شانس بخشش دارند. A این خبر را به C می گوید و او نیز خوشحال می شود زیرا فکر می کند شانس A ثابت مانده ولی شانس او افزایش یافته است. حال کدام یک درست فکر می کنند؟[ ۲]
برای پاسخ ابتدا بررسی می کنیم که در چه حالت هایی زندان بان نام B را به عنوان اعدامی می گوید:
• C بخشیده شده است. ( احتمال این حالت: ۱/۳ )
• A بخشیده شده است ( احتمال: ۱/۳ ) و سپس سکه انداخته شده و نام B گفته شده است ( احتمال: ۱/۲ ) . ( احتمال این حالت: ۱/۶ )
پس می توان نتیجه گرفت که زمانی که زندان بان نام B را گفته، احتمال بخشیده شدن C دو برابر احتمال بخشیده شدن A است. این یعنی شانس A برای بخشیده شدن هنوز همان ۱/۳ ولی شانس C برای بخشیده شدن برابر ۲/۳ است.
برای بیان این مسئله به صورت ریاضی از قانون بیز استفاده می کنیم. رخداد a را برابر گفته شدن نام A توسط زندان بان ( به همین ترتیب b و c ) و رخداد A را برابر بخشیده شدن A ( به همین ترتیب B و C ) در نظر می گیریم:
P ( A | b ) = P ( b | A ) ∗ P ( A ) P ( b | A ) ∗ P ( A ) + P ( b | B ) ∗ P ( B ) + P ( b | C ) ∗ P ( C ) : احتمال بخشیده شدن A در صورت گفتن نام B ۱/۳ = = 1 / 2 ∗ 1 / 3 1 / 2 ∗ 1 / 3 + 0 ∗ 1 / 3 + 1 ∗ 1 / 3
wiki: مسئله سه زندانی