در ریاضیات مالی، مدل کاکس - اینگرسول - راس ( به انگلیسی: Cox–Ingersoll–Ross model ) ( یا مدل CIR ) مدل سازی نرخ بهره را توصیف می کند. این مدل، یک نوع «مدل تک عاملی» ( مدل نرخ بهره کوتاه مدت ) است که تغییرات نرخ بهره را با توجه به یک نوع از ریسک بازار توصیف می کند. این مدل می تواند در ارزیابی نرخ بهره اوراق مشتقه استفاده شود. این مدل در سال ۱۹۸۵ توسط جان سی کاکس، جاناتان. اینگرسول و استفان. راس به عنوان توسعه ای از مدل Vasicek معرفی شد.
مدل CIR نرخ بهره آنی را از طریق معادله دیفرانسیل تصادفی زیر که به فرایند CIR معروف است؛ تعیین می کند:
که W_t در آن یک فرایند وینر ( مدل سازی عامل ریسک بازار به صورت تصادفی ) و a، b و سیگما، پارامترهای آن هستند. پارامتر a مربوط به رابطه تنظیم سرعت، پارامتر b میانگین و سیگما شدن نوسان پذیری است. عامل انحراف، a ( b − r t ) است که دقیقاً همان مدل Vasicek است. این تضمین می کند که بازگشت به میانگین نرخ بهره به سمت ارزش بلندمدت b، با سرعت تعدیل شده توسط پارامتر مثبت a. عامل انحراف استاندارد، سیگما، تابع ( r - t ) ، امکان نرخ بهره منفی برای همه ارزش های مثبت a و b را محدود می کند. نرخ بهره صفر نیز محدود می شود اگر شرط 2ab≥σ^۲ برقرار باشد. به طور کلی، زمانی که نرخ بهره در پایین ترین سطح ( نزدیک به صفر ) ، انحراف استاندارد ( واریانس ) نیز بسیار کوچک می شود که تعدیل اثر شوک تصادفی روی نرخ دارد به تبع آن وقتی که نرخ به سمت صفر میل می کند، مدلسازی آن توسط عامل انحراف، نرخ را به سمت بالا هدایت می کند ( به سمت تعادل ) . این فرایند را می توان به عنوان مجموع مربع فرایند Ornstein–Uhlenbeck تعریف کرد. . CIR یک فرایند تخصصی است و دارای یک توزیع ثابت است. همین روند در مدل Heston، تحت مدل نوسانات تصادفی استفاده می شود.
توزیع آتی توزیع ارزش آتی تحت مدل CIR به صورت فرمول زیر محاسبه می شود:
که در آن c = 2 a ( 1 − e − a T ) σ 2 و Y یک توزیع مجذور کای دو و غیر مرکزی با 4 a b σ 2 درجه آزادی و پارامتر غیر مرکزی 2 c r t e − a T . به طور مشخص، تابع چگالی احتمال به صورت زیر است:
که در آن q = 2 a b σ 2 − 1 ، u = c r t e − a T ، v = c r t + T و I q ( 2 u v ) که تابع در آن بسته به اولین نوع سفارش q اصلاح شده است.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفمدل CIR نرخ بهره آنی را از طریق معادله دیفرانسیل تصادفی زیر که به فرایند CIR معروف است؛ تعیین می کند:
که W_t در آن یک فرایند وینر ( مدل سازی عامل ریسک بازار به صورت تصادفی ) و a، b و سیگما، پارامترهای آن هستند. پارامتر a مربوط به رابطه تنظیم سرعت، پارامتر b میانگین و سیگما شدن نوسان پذیری است. عامل انحراف، a ( b − r t ) است که دقیقاً همان مدل Vasicek است. این تضمین می کند که بازگشت به میانگین نرخ بهره به سمت ارزش بلندمدت b، با سرعت تعدیل شده توسط پارامتر مثبت a. عامل انحراف استاندارد، سیگما، تابع ( r - t ) ، امکان نرخ بهره منفی برای همه ارزش های مثبت a و b را محدود می کند. نرخ بهره صفر نیز محدود می شود اگر شرط 2ab≥σ^۲ برقرار باشد. به طور کلی، زمانی که نرخ بهره در پایین ترین سطح ( نزدیک به صفر ) ، انحراف استاندارد ( واریانس ) نیز بسیار کوچک می شود که تعدیل اثر شوک تصادفی روی نرخ دارد به تبع آن وقتی که نرخ به سمت صفر میل می کند، مدلسازی آن توسط عامل انحراف، نرخ را به سمت بالا هدایت می کند ( به سمت تعادل ) . این فرایند را می توان به عنوان مجموع مربع فرایند Ornstein–Uhlenbeck تعریف کرد. . CIR یک فرایند تخصصی است و دارای یک توزیع ثابت است. همین روند در مدل Heston، تحت مدل نوسانات تصادفی استفاده می شود.
توزیع آتی توزیع ارزش آتی تحت مدل CIR به صورت فرمول زیر محاسبه می شود:
که در آن c = 2 a ( 1 − e − a T ) σ 2 و Y یک توزیع مجذور کای دو و غیر مرکزی با 4 a b σ 2 درجه آزادی و پارامتر غیر مرکزی 2 c r t e − a T . به طور مشخص، تابع چگالی احتمال به صورت زیر است:
که در آن q = 2 a b σ 2 − 1 ، u = c r t e − a T ، v = c r t + T و I q ( 2 u v ) که تابع در آن بسته به اولین نوع سفارش q اصلاح شده است.
wiki: مدل کاکس اینگرسول راس