مدل آیزینگ. مدل آیزینگ ( به انگلیسی: Ising Model ) ( /ˈaɪsɪŋ/ ; آلمانی: ) که به افتخار فیزیکدان ارنست آیزینگ به نام او نامگذاری شده است یک مدل ریاضی از فرومغناطیس در مکانیک آماری است. این مدل متشکل از متغیرهای گسسته است که نشان دهنده جهت گشتاور دوقطبی های اتم است و می تواند در یکی از دو حالت ( +۱ یا - ۱ ) باشد. این جهت چرخش ها به صورت یک گراف مشبکه ( Lattice ) قرار می گیرند به طوریکه هر جهت چرخش بتواند با همسایگان در تعامل باشد. این مدل اجازه می دهد تا انتقال فاز به عنوان یک مدل ساده از مدل اصلی شناسایی شود. مدل Ising به صورت گراف مشبکه مربعی دوبعدی یکی از ساده ترین مدل های احتمالاتی برای نشان دادن انتقال فاز است. [ ۱]
مدل آیزینگ توسط فیزیکدان Wilhelm Lenz ( ۱۹۲۰ ) که این مدل را به عنوان یک مسئله به دانشجوی خود ارنست آیزینگ داده بود اختراع شد. مدل یک بعدی Ising را خود آیزینگ در پایان نامه اش به سال ۱۹۲۴ میلادی حل کرد. [ ۲] اما مدل لاتیس دوبعدی مربعی Ising بسیار سخت تر بود و سال ها بعد توسط Lars Onsager ( ۱۹۴۴ ) تحلیل شد. اگرچه راه های زیادی برای حل آن ارائه شده، راه حل متداول ماتریس انتقال است گر چه وجود دارد که بیشتر به تئوری میدان کوانتومی مرتبط است.
در ابعاد بالاتر از چهار، انتقال فاز مدل Ising با تئوری میدان میانگین توضیح داده می شود.
یک مجموعه رئوس مشبکه Λ را در نظر بگیرید که هر کدام با مجموعهٔ رئوس مجاور ( به عنوان مثال یک گراف ) که تشکیل یک مشبکه d - بعدی را می دهند. برای هر رأس مشبکه k ∈ L یک متغیر گسسته σk وجود دارد به طوری که σk ∈ {+۱, - ۱} که در واقع نشان دهنده جهت چرخش اتم در مدل واقعی است. یک پیکربندی برای چرخش σ = ( σk ) k ∈ Λ است که در واقع انتسابی برای هر رأس این مشبکه است.
برای هر دو رأس مجاور i, j ∈ Λ یک یال Jij وجود دارد. همچنین یک رأس j ∈ L دارای یک میدان مغناطیسی خارجی hj است که با آن تعامل دارد. انرژی یک پیکربندی σ از تابع هامیلتونی به شکل زیر به دست می آید.
که در آن اولین جمع روی مجموعه چرخش های مجاور در گراف است ( هر چرخش یک بار ) . نماد < ij> نشان می دهد که سایت های i و j همسایه مجاور هستند. در این جا گشتاور مغناطیسی µ است. توجه داشته باشید که علامت عبارت دوم در بالا در واقع باید مثبت باشد زیرا گشتاور مغناطیسی الکترون مخالف جهت چرخش آن است اما این عبارت به این صورت مصطلح تر است. [ ۳] احتمال پیکربندی از توزیع بولتزمن با β ≥ ۰ به دست می آید:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفمدل آیزینگ توسط فیزیکدان Wilhelm Lenz ( ۱۹۲۰ ) که این مدل را به عنوان یک مسئله به دانشجوی خود ارنست آیزینگ داده بود اختراع شد. مدل یک بعدی Ising را خود آیزینگ در پایان نامه اش به سال ۱۹۲۴ میلادی حل کرد. [ ۲] اما مدل لاتیس دوبعدی مربعی Ising بسیار سخت تر بود و سال ها بعد توسط Lars Onsager ( ۱۹۴۴ ) تحلیل شد. اگرچه راه های زیادی برای حل آن ارائه شده، راه حل متداول ماتریس انتقال است گر چه وجود دارد که بیشتر به تئوری میدان کوانتومی مرتبط است.
در ابعاد بالاتر از چهار، انتقال فاز مدل Ising با تئوری میدان میانگین توضیح داده می شود.
یک مجموعه رئوس مشبکه Λ را در نظر بگیرید که هر کدام با مجموعهٔ رئوس مجاور ( به عنوان مثال یک گراف ) که تشکیل یک مشبکه d - بعدی را می دهند. برای هر رأس مشبکه k ∈ L یک متغیر گسسته σk وجود دارد به طوری که σk ∈ {+۱, - ۱} که در واقع نشان دهنده جهت چرخش اتم در مدل واقعی است. یک پیکربندی برای چرخش σ = ( σk ) k ∈ Λ است که در واقع انتسابی برای هر رأس این مشبکه است.
برای هر دو رأس مجاور i, j ∈ Λ یک یال Jij وجود دارد. همچنین یک رأس j ∈ L دارای یک میدان مغناطیسی خارجی hj است که با آن تعامل دارد. انرژی یک پیکربندی σ از تابع هامیلتونی به شکل زیر به دست می آید.
که در آن اولین جمع روی مجموعه چرخش های مجاور در گراف است ( هر چرخش یک بار ) . نماد < ij> نشان می دهد که سایت های i و j همسایه مجاور هستند. در این جا گشتاور مغناطیسی µ است. توجه داشته باشید که علامت عبارت دوم در بالا در واقع باید مثبت باشد زیرا گشتاور مغناطیسی الکترون مخالف جهت چرخش آن است اما این عبارت به این صورت مصطلح تر است. [ ۳] احتمال پیکربندی از توزیع بولتزمن با β ≥ ۰ به دست می آید:
wiki: مدل آیزینگ