مخروط محدب

با توجه به مفاهیم جبر خطی، مخروط محدب را زیر مجموعه ای از فضای برداری تعریف شده روی یک میدان مشخص می نامند که نسبت به ترکیب خطی ضرایب غیر منفی بسته باشند.
زیر مجموعه C از فضای برداری V را مخروط ( مخروط خطی ) می نامند، اگر به ازای هر x عضوی مجموعهٔ C و مقدار اسکالر غیر منفی a، حاصلضرب a x نیز عضو مجموعهٔ C باشد. [ ۱]
به عبارت دیگر برای هر x عضو مجموعه C و a ≥ ۰، بتوان اثبات نمود که ax هم عضوی از مجموعه C می باشد. پس در حالت کلی می توان گفت که هر زیر فضای برداری نیز یک مخروط محدب است.
مخروط C را مخروط محدب می نامند، هرگاه به ازای مقادیر اسکالر غیر منفی a و b و برای هر x و y عضو C، ترکیب خطی ax + by نیز عضو مجموعهٔ C باشد. [ ۲] [ ۳]
اگر C یک مخروط محدب باشد و x عضوی از این مجموعهٔ محدب باشد، آنگاه به ازای هر مقدار اسکالر غیر منفی a و با توجه به تعریف فوق برای مخروط محدب، a x = ( a/2 ) x + ( a/2 ) x نیز عضوی از مجموعهٔ C است و این بدین معناست که مخروط محدب حالت خاصی از مخروط خطی است.
با توجه به مفهومی که برای مخروط محدب ارائه شد، به سادگی می توان اثبات نمود که هر خط عبور کننده از مبدأ مختصات نیز یک مخروط محدب است.
با استفاده از تعریف ابرصفحه می توان تعریفی برای نیم فضا ارائه نمود. مجموعهٔ { x ∈ V ∣ f ( x ) = c } مشخص کنندهٔ یک ابر صفحه در فضای برداری V است. هر ابر صفحه، فضای برداری را به دو نیم فضا تقسیم می کند که نیم فضای بسته به صورت { x ∈ V ∣ f ( x ) ≤ c } یا { x ∈ V ∣ f ( x ) ≥ c } ، که f بیانگر یک تابع خطی است، تعریف می شود. به طور مشابه اگر برای تعریف نیم فضا از نامساوی اکید استفاده شود، آنگاه تعریفی برای نیم فضای باز ارائه شده است. [ ۴] [ ۵]
نیم فضا ( باز یا بسته ) مثالی از یک مجموعهٔ مخروط محدب است.
زیر مجموعهٔ C از فضای برداری V را در نظر می گیریم. مخروط دوگان C را به صورت زیر تعریف می شود:
مخروط دوگان مجموعهٔ C همواره مخروط محدب است و این موضوع مستقل از تحدب C می باشد. [ ۶]