مخروط سره

یکی از چالش های بهینه سازی محدب یافتن مجموعه هایی است که دارای خاصیت تحدب باشند. در حالت کلی مجموعه ای را که هر ترکیب محدب از هر دو عضو K همچنان عضو K باشد، محدب گویند. یعنی اگر x ~ ∈ K و y ^ ∈ K آنگاه به ازای هر 0 ≤ α ≤ 1 داشته باشیم α x ~ + ( 1 − α ) y ^ ∈ K . همچنین با توجه به تعریف مخروط محدب می توان مخروط سره را به عنوان یک مجموعه محدب تعریف نمود.
اگر K یک مخروط بوده و چهار خاصیت زیر را داشته باشد، آنگاه مخروط K را یک مخروط سره ( Proper Cone ) گویند. چهار شرط عبارت اند از:
• K محدب باشد.
• K بسته باشد، بدین معنا که نقاط مرزی را شامل شود.
• توپر باشد، بدین معنا که فقط مرز نباشد.
• رأس دار باشد، بدین معنا که هیچ خطی را شامل نشود.
اهمیت مفهوم مخروط سره را می توان در تعریف مبحث نامساوی های تعمیم یافته دانست که در بسیاری از مسائل ریاضی از جمله بهینه سازی محدب و مقایسه ماتریس ها و بردارها به کارگرفته می شود. درواقع هر نامساوی تعمیم یافته را باید روی یک مخروط سره تعریف نمود. برای مثال نامساوی تعمیم یافته برای بردارهای دلخواه x و y و روی مخروط سره K به صورت زیر تعریف می شود:
• x ⪯ y ⇒ y - x ∈ K
این تعریف بیان می کند که تحت یک مخروط سره مشخص، بردار x هنگامی کوچکتر از بردار y در نظر گرفته می شود که بردار تفاضل آن های عضوی از مخروط سرهٔ K باشد. به بیان ساده تر، می توان گفت که تحت یک مخروط سرهٔ مشخص K، در صورتی بردار x از بردار y کوچکتر است که تک تک درایه های بردار x از درایه های متناظر در بردار y کوچکتر باشد.
همچنین این مفهوم را می توان از حالت برداری به حالت ماتریسی تعمیم داد و نامساوی تعمیم یافته را برای ماتریس های مشخص رو ی مخروط سره ای با ابعاد مشابه با ماتریس ها بیان نمود. در این حالت تک تک درایه های ماتریس X باید از تک تک درایه های ماتریس Y کوچکتر باشد تا ماتریس X را تحت یک مخروط سره مشخص کوچکتر از ماتریس Y معرفی نمود.
در حالت کلی گوشهٔ مثبت فضای مختصات N بعدی را می توان یک مخروط سره جهت مقایسهٔ بردارهای N بعدی در نظر گرفت. در شکل ناحیه اول فضای مختصات به عنوان یک گوشهٔ مثبت دو بعدی در نظر گرفته می شود.
معروف ترین مخروط سره در فضای ماتریسی ماتریس های مثبت معین هستند که برای تعریف نامساوی تعمیم یافته در فضای ماتریسی از آن بهره گرفته می شود.