مجموعه متعدی

مجموعه متعدی (نظریه مجموعه ها). در نظریه مجموعهها یک مجموعه A را گذرا ( به انگلیسی: transitive ) گویند اگر یکی از شرایط معادل زیر را داشته باشد:
• هرگاه x ∈ A و y ∈ x، آنگاه y ∈ A.
• هر x ∈ Aو x یک اورلمنت ( عنصری که خود از جنس مجموعه نیست ) نباشد، آنگاه x یک زیر مجموعه از A باشد.
به طور مشابه یک رده M گذرا است اگر هر عنصر از M زیر مجموعه ای از M باشد.
با استفاده از تعریف اعداد ترتیبی پیشنهاد شده توسط جان فون نویمان، اعداد ترتیبی به عنوان مجموعه های موروثاَ گذرا تعریف می شوند: یک عدد ترتیبی یک مجموعه گذرا ست که اعضایش هم گذرا ( و در نتیجه عدد ترتیبی ) هستند. رده از همه اعداد ترتیبی یک کلاس گذرا است.
هر یک از مراحل Vα و Lα که منجر به ساخت جهان فون نویمان V و جهان ساختنی گودل L منجر می شوند، مجموعه های گذرا هستند. جهان های L و V خودشان کلاس های گذرایند.
این یک فهرست کامل از تمام مجموعه های گذرا تا ۲۰ براکت است:[ ۱]
• { } , {\displaystyle \{\}, }
• { { } } , {\displaystyle \{\{\}\}, }
• { { } , { { } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { } , { { } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { } } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { } , { { } } } , { { } , { { } , { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { } , { { } } } , { { { } } , { { } , { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { } , { { } } } , { { } , { { } } , { { } , { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { { { { } } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { { { } } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\{\}\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { { } } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { } , { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { { } } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { { } } , { { { { } } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { } } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { } , { { { } } } } } , { { } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { { } } , { { } , { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { } } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { { } } } } , { { { } } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { { { } } } , { { { { } } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { } } , { { { { } } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { { { } } } , { { } , { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { } } , { { } , { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { { } } } } , { { } , { { } , { { { } } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { { } } } } , { { } , { { } } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { { } , { { } } } } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { } , { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { { } } } , { { { { } } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } , { { { } } } } } , { { { } } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { { } } } , { { } , { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { { } } } } , { { { } } , { { } , { { { } } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { } } , { { { } } } } , { { } , { { } } , { { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { { } , { { } } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } , { { { } } , { { } , { { } } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { { { { } } } } } , { { } , { { } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\{\{\}\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } } , {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}, }
• { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { { } } } } } . {\displaystyle \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\}. }