مثلث خیام پاسکال

مثلث خیام - پاسکال به آرایش مثلث شکل ضرایب بسط دوجمله ای گویند.
«مثلث خیام - پاسکال» را گاه به ندرت «مثلث خیام - پاسکال - نیوتن» نیز می گویند. این مثلث توسط دانشمندان گوناگونی از هند و ایران و چین و غیره و بعدتر در اروپا بررسی شده است و در زبان های گوناگون نام های مختلفی دارد. در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال»، ایتالیایی «مثلث تارتالیا» و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» نام گرفته است. در آثار متون سانسکریتِ پینگالا ریاضی دان هندی نشانه هایی از استفاده از این بسط دیده می شود. در همان دوران عمر خیام ریاضی دان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به دست آوردن ضرایب بسط دوجمله ای می کند. کتاب مشکلات الحساب، کتابی که اثبات های این ادعا در آن آمده هنوز کشف نشده ولی در آثار طوسی تأثیر گرفته از او ضرایب را تا توان ۱۲ می توان دید. [ ۲] بعد از او در قرن ۱۲ میلادی در آثار یانگ هویی ریاضی دان چینی، شکل مثلث به چشم می خورد. در قرن ۱۶ میلادی ریاضی دان ایتالیایی تارتالیا هم از خود این مثلث را به جا گذاشته و پس از یک قرن پاسکال ریاضی دان فرانسوی هم دوره با نیوتون روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد.
مثلث خیام، مثلث پاسکال، مثلث تارتالیا یا مثلث خیام - پاسکال به آرایش مثلثی شکل ضرایب بسط دوجمله ای گفته می شود.
( n k )
برای مطالعهٔ خواص جمله های مثلث کافی هست از تعریف استفاده کنیم
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) !
( n + 1 k ) = ( n k − 1 ) + ( n k )
( a + b ) n = ( n 0 ) a n + ( n 1 ) a n − 1 b + . . . + ( n n ) b n
• دنباله توان ۲:
دنباله توان ۲ به صورت زیر می باشد
2 0 = 1 , 2 1 = 2 , 2 2 = 4 , 2 3 = 8 , 2 4 = 16 , . . .
الگوی جالبی در داخل مثلث پاسکال برای محاسبه توان ۲ وجود دارد:
2 0 = 1 2 1 = 1 + 1 = 2 2 2 = 1 + 2 + 1 = 4 2 3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 2 4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
جمع عناصر هر سطر به ترتیب توان ۲ ایجاد می کند با توجه به رابطه ( ۳٫۳ ) اگر:
2 n = ( n 0 ) + ( n 1 ) + . . . + ( n n ) ( n ≥ 0 )
اگر a=۱وb= - ۱به رابطهٔ زیر می رسیم:
0 n = ( n 0 ) − ( n 1 ) + . . . + ( − 1 ) n ( n n ) ( n ≥ 0 )
در رابطه اخیر اگر n=۰قرارداد ۱=۰۰ با مشتق گیری از طرفین از طرفین رابطهٔ ( ۳٫۳ ) برای a=xوb=۱داریم
n ( 1 + x ) n − 1 = ( n 1 ) + 2 ( n 2 ) x + . . . + r ( n r ) x r − 1 + . . . + n x n − 1