ماتریس تصادفی

در ریاضیات یک ماتریس تصادفی ( ماتریس احتمال، ماتریس انتقال، [ ۱] ماتریس جایگزینی یا ماتریس مارکوف هم نامیده می شود ) ماتریس مورد استفاده برای توصیف انتقال های یک زنجیره مارکوف است. هر یک از درایه های این ماتریس عدد حقیقی غیرمنفی است که احتمال را نشان می دهد. این ماتریس در نظریه احتمال ، آمار، ریاضی مالی و جبر خطی و همچنین علوم کامپیوتر و ژنتیک جمعیت کاربرد دارد. تعاریف متعددی و انواع ماتریس تصادفی:
به همین شیوه می توان بردار تصادفی ( بردار احتمال نیز نامیده می شود ) را تعریف کرد؛ که برداری است با مقادیر حقیقی غیرمنفی و مجموع . بنابراین هر سطر از ماتریس تصادفی راست ( یا ستون از ماتریس تصادفی چپ ) یک بردار تصادفی است.
قرارداد رایج در ادبیات ریاضی دانان انگلیسی زبان این است که از بردار سطری ماتریس تصادفی راست و احتمالات استفاده کنند تا بردار ستونی ماتریس تصادفی چپ و احتمالات؛ در این مقاله از این قرارداد رایج استفاده شده است.
یک ماتریس تصادفی زنجیره مارکوف X t با تعداد حالات محدود از فضای S را توصیف می کند.
اگر احتمال حرکت از حالت i به حالت j در یک مرحله زمانی را با عبارت P r ( j | i ) = P i , j ماتریس تصادفی P با استفاده از P i , j با عنصر ردیف i و ستون j مشخص خواهد شد،
با توجه به اینکه مجموع احتمال گذار از حالت i به تمام حالات دیگر باید باشد، این ماتریس یک ماتریس تصادفی راست، پس
حاصل ضرب دو ماتریس تصادفی راست نیز یک ماتریس تصادفی راست است. به ویژه توان k ماتریس تصادفی راست P ، P k نیز یک ماتریس تصادفی راست است. احتمال انتقال از حالت i به حالت j در دو گام با عنصر ( i , j ) از مربع ماتریس P :
در کل احتمال انتقال رفتن از هر حالت به حالت دیگر در زنجیره مارکوف با ماتریس P و در k مرحله با ماتریس P k .
توزیع اولیه با بردار سطری نمایش داده می شود.
بردار احتمال مانا π که به عنوان یک توزیع تعریف می شود، به صورت یک بردار سطری نوشته می شود، که با اعمال ماتریس انتقال تغییر نمی کند؛ به عبارت دیگر، این بردار به صورت توزیع احتمال روی مجموعه { 1 , 2 , . . . , n } تعریف می شود. این بردار، بردار ویژه ماتریس احتمال متناظر با مقدار ویژه می باشد:
شعاع طیفی راست هر ماتریس تصادفی راست حداکثر می باشد. علاوه بر این، هر ماتریس تصادفی راست یک بردار ویژه ستونی بدیهی متناظر با مقدار ویژه دارد: بردار می باشند. همان طور که مقادیر ویژه چپ و راست یک ماتریس مربعی یکسان هستند، هر ماتریس تصادفی، حداقل یک بردار ویژه سطری متناظر با مقدار ویژه دارد و اندازه مطلق بزرگترین مقادیر ویژه اش است. در نهایت طبق قضیه مقدار ثابت براوئر ( اعمال شده به مجموعه محدب فشرده از تمام توزیع های احتمال مجموعه متناهی { 1 , 2 , . . . , n } ) حاکی از آن است که بردارهای ویژه چپی هم وجود دارند که بردار احتمال مانا باشند.