لم زرن

لم زرن یکی از مفیدترین اصولی است که هم ارز اصل انتخاب است، اصلی است که اولین بار در سال ۱۹۱۴ مطرح شد و به نام لم زرن معروف است، لم زرن به صورت زیر مطرح می شود: اگر ( A , ≤ ) یک مجموعه مرتب جزئی باشد، بطوریکه هر زیر مجموعه کاملاً مرتب آن، دارای کران بالا ( در A ) باشد، آنگاه A دارای عضو ماکزیمال است.
با توجه به اصل ماکزیمالی هاسدورف، ( A ≤ ) دارای زیر مجموعه کاملاً مرتبی مانند B است که نسبت به رابطه شمول ⊆ ماکزیمال است. بنا به فرض، B دارای یک کران بالا به نام u است. نشان می دهیم که u یک عضو ماکزیمال از A است. اگر عضوی مانند x ∈ A وجود داشته باشد، بطوریکه x ≥ u ، آنگاه B ⋃ { x } ، زیر مجموعه کاملاً مرتبی از Aاست که شامل زیر مجموعه ماکزیمال کاملاً مرتب B می باشد. در نتیجه می بایست B ⋃ { x } = B باشد که نتیجه می دهد x ≤ u . این ثابت می کند که u عضو ماکزیمال مجموعه ( A ≤ ) است.
لم فوق نمونه ای از یک خاصیت وجودی است که ادعا می کند عضو ماکزیمال در مجموعه مرتب جزئی خاص وجود دارد. اما اثبات این قضیه، روشی را برای تعیین این عضو ماکزیمال ارائه نمی دهد. به عنوان کاربرد لم زرن، قضیه زیر را بیان و اثبات می کنیم.
اگر A، Bدو مجموعه غیر تهی باشند، آنگاه تابع یک به یکی از Aبه Bو یا یک تابع یک به یک از Bبه A وجود دارد. اثبات فرض می کنیم X مجموعه تمام زوجهای مرتب ( A α , f α )   که A α   زیر مجموعه ای از A و همچنین F α : A α → B تابعی یک به یک است، باشند. رابطه ≤ را روی X به طریق زیر تعریف می کنیم  :
( A α , f α ) ≤ ( A β , f β ) ⟺ A α ⊆ A β , f α ⊆ f β
مسلما این رابطه ترتیبی جزئی است. به منظور استفاده از لم زرن، باید مطمئن شویم که هر زیر مجموعه کاملاً مرتب T = { ( A γ , f γ ) | γ ∈ Γ } از X دارای یک کران بالاست. ( ⋃ γ ∈ Γ A γ , ⋃ γ ∈ Γ f γ ) یک حدس خوب برای کران بالای مجموعه T، است.
قرار می دهیم: A 1 = ⋃ γ ∈ Γ A γ , f 1 = ⋃ γ ∈ Γ f γ