لم اسپرنر در واقع معادل ترکیبیاتی قضیهٔ نقطهٔ ثابت برور می باشد و توسط امانویل اسپرنر اثبات شده است.
این لم به زبان ساده بیان می کند که در هر رنگ آمیزی اسپرنری ( که در پایین به تعریف این نوع از رنگ آمیزی خواهیم پرداخت ) یک سیمپلکس n بعدی مثلث بندی شده، حداقل یک سلول شامل تمامی رنگ ها دارد ( در واقع در این رنگ آمیزی رأس ها را رنگ می کنیم و این لم بیان می کند که حداقل یکی از فضاهای به وجود آمده توسط مثلث بندی شدن این سیمپلکس قطعاً در رأس های خود تمامی رنگ ها را خواهد داشت ) .
رنگ آمیزی اسپرنری چندین کاربرد دارد که از آن ها می توان به محاسبهٔ کارآمد نقاط ثابت یک تابع، پیدا کردن ریشه های معادله ها و تقسیم عادلانه ( مسألهٔ برش کیک که یکی از مسایل مطرح در نظریهٔ بازی ها است ) اشاره کرد.
در اینجا به این می پردازیم که این لم در واقع چه چیزی را بیان می کند. همان طور که در بالا اشاره شد این لم در سیمپلکس های n بعدی تعریف می شود. برای درک بهتر این لم آن را برای بعدهای پایین n = 1 , 2 بیان می کنیم تا شهودی نسبت به آن پیدا کنیم.
در حالت یک بعدی این قضیه بیان می کند که یک تابع که روی یک فضای گسستهٔ یک بعدی ( مثل نقاطی روی یک خط ) که تنها مقادیر صفر و یک را به خود اختصاص می دهد و با مقدار صفر شروع می کند و به مقدار یک تمام می شود به تعداد فردی مقدار خود را بین صفر و یک عوض می کند. در واقع فرض کنید پاره خطی عمودی داریم و نقطهٔ بالایی این پاره خط را با رنگ سبز و نقطهٔ پایینی آن را با رنگ آبی رنگ کنیم حتماً تکه پاره خطی وجود دارد که رنگ دو سر آن ها سبز و آبی ( متفاوت ) است و تعداد تکه پاره خط های به وجود آمده که دو سر آن ها رنگ سبز و آبی ( متفاوت ) هستند، فرد است.
این حالت از قضیهٔ اسپرنر در واقع حالتی از آن است که بیشتر از بقیهٔ حالت های آن مطرح می شود که شرح آن به صورت زیر است:
یک مثلث بندی از مثلث A B C را در نظر بگیرید. حال فرض کنید که رأس های به وجود آمده در این مثلث را با شروط زیر رنگ می کنیم.
• راس A {\displaystyle A} را با رنگ سبز، راس B {\displaystyle B} را با رنگ قرمز و راس C {\displaystyle C} را با رنگ آبی رنگ می کنیم.
• رأس های روی یال A B {\displaystyle AB} از مثلث را با دو رنگ سبز و قرمز و رأس های روی یال B C {\displaystyle BC} را با دو رنگ قرمز و آبی و رأس های روی یال A C {\displaystyle AC} را با دو رنگ سبز و آبی رنگ می کنیم ( در واقع رأس های روی یال های A B C {\displaystyle ABC} تنها با رنگ های دوسر یالشان در مثلث بزرگ رنگ می شوند ) .
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاین لم به زبان ساده بیان می کند که در هر رنگ آمیزی اسپرنری ( که در پایین به تعریف این نوع از رنگ آمیزی خواهیم پرداخت ) یک سیمپلکس n بعدی مثلث بندی شده، حداقل یک سلول شامل تمامی رنگ ها دارد ( در واقع در این رنگ آمیزی رأس ها را رنگ می کنیم و این لم بیان می کند که حداقل یکی از فضاهای به وجود آمده توسط مثلث بندی شدن این سیمپلکس قطعاً در رأس های خود تمامی رنگ ها را خواهد داشت ) .
رنگ آمیزی اسپرنری چندین کاربرد دارد که از آن ها می توان به محاسبهٔ کارآمد نقاط ثابت یک تابع، پیدا کردن ریشه های معادله ها و تقسیم عادلانه ( مسألهٔ برش کیک که یکی از مسایل مطرح در نظریهٔ بازی ها است ) اشاره کرد.
در اینجا به این می پردازیم که این لم در واقع چه چیزی را بیان می کند. همان طور که در بالا اشاره شد این لم در سیمپلکس های n بعدی تعریف می شود. برای درک بهتر این لم آن را برای بعدهای پایین n = 1 , 2 بیان می کنیم تا شهودی نسبت به آن پیدا کنیم.
در حالت یک بعدی این قضیه بیان می کند که یک تابع که روی یک فضای گسستهٔ یک بعدی ( مثل نقاطی روی یک خط ) که تنها مقادیر صفر و یک را به خود اختصاص می دهد و با مقدار صفر شروع می کند و به مقدار یک تمام می شود به تعداد فردی مقدار خود را بین صفر و یک عوض می کند. در واقع فرض کنید پاره خطی عمودی داریم و نقطهٔ بالایی این پاره خط را با رنگ سبز و نقطهٔ پایینی آن را با رنگ آبی رنگ کنیم حتماً تکه پاره خطی وجود دارد که رنگ دو سر آن ها سبز و آبی ( متفاوت ) است و تعداد تکه پاره خط های به وجود آمده که دو سر آن ها رنگ سبز و آبی ( متفاوت ) هستند، فرد است.
این حالت از قضیهٔ اسپرنر در واقع حالتی از آن است که بیشتر از بقیهٔ حالت های آن مطرح می شود که شرح آن به صورت زیر است:
یک مثلث بندی از مثلث A B C را در نظر بگیرید. حال فرض کنید که رأس های به وجود آمده در این مثلث را با شروط زیر رنگ می کنیم.
• راس A {\displaystyle A} را با رنگ سبز، راس B {\displaystyle B} را با رنگ قرمز و راس C {\displaystyle C} را با رنگ آبی رنگ می کنیم.
• رأس های روی یال A B {\displaystyle AB} از مثلث را با دو رنگ سبز و قرمز و رأس های روی یال B C {\displaystyle BC} را با دو رنگ قرمز و آبی و رأس های روی یال A C {\displaystyle AC} را با دو رنگ سبز و آبی رنگ می کنیم ( در واقع رأس های روی یال های A B C {\displaystyle ABC} تنها با رنگ های دوسر یالشان در مثلث بزرگ رنگ می شوند ) .
wiki: لم اسپرنر