قضیه وارینیون

قضیه وارینیون در هندسه اقلیدسی بیان می دارد که با وصل کردن اوساط اضلاع یک چهارضلعی دلخواه، متوازی الاضلاعی پدید می آید که مساحتش نصف مساحت چهارضلعی اولیه است.
نام این قضیه از اثبات کنندهٰ آن، پیر وارینیون گرفته شده است. اثبات او پس از مرگش در سال ۱۷۳۱ منتشر شد. [ ۱]
با توجه به نمودار بالا، مثلث ADC و HDG به حالت برابری دو زاویه متشابه هستند؛ بنابراین زوایای DAC و DHG برابر هستند و نتیجتاً HG با AC موازی است. به همان ترتیب EF موازی AC است، بنابراین HG و EF موازی یکدیگر هستند. همین امر برای HE و GF صادق است.
متوازی الاضلاع مسطح وارینیون همچنین دارای ویژگی های زیر است:
• هر جفت اضلاع متقاطع وارینیون موازی یک قطر در چهارضلعی اصلی است.
• اندازه هر ضلع از متوازی الاضلاع وارینیون، نصف قطری است که در چهار ضلعی اصلی با آن موازی است.
• مساحت متوازی الاضلاع وارینیون برابر با نصف مساحت چهارضلعی اصلی است. این امر در چهارضلعی های محدب، مقعر و متقاطع صادق است. [ ۲]
• محیط متوازی الاضلاع وارینیون با مجموع اندازه قطرهای چهار ضلعی اصلی برابر است.
• در یک چهارضلعی محدب با اندازه اضلاع a , b، c و d، طول پاره خط میانگین که نقاط وسط اضلاع a و c را به هم متصل می کند:
که p و q اندازه قطرهای چهارضلعی اولیه هستند. [ ۳] طول پاره خط میانگین که نقاط وسط اضلاع b و d را به هم متصل می کند:
درواقع، علامت مجذور اضلاع پای پاره خط میانگین در زیر رادیکال، منفی است.
از این رو[ ۴] :   p. 126 
این نیز نتیجه قانون متوازی الاضلاع است که در متوازی الاضلاع وارینیون اعمال می شود.
• در یک چهارضلعی محدب، ارتباط دوگانه زیر بین پاره خط های میانگین و قطرها وجود دارد:[ ۵]
• متوازی الاضلاع وارینیون، یک مستطیل است اگر و تنها اگر دو قطر چهارضلعی برهم عمود باشند.
• متوازی الاضلاع وارینیون، یک لوزی است اگر و تنها اگر دو قطر چهارضلعی اندازه مساوی داشته باشند. . [ ۶]