قضیه هیئت منصفه کندورسه

قضیه هیئت منصفه کندورسه ( انگلیسی: Condorcet's jury theorem ) قضیه ای در علوم سیاسی است که دربارهٔ احتمال نسبی گروهی از اشخاص که تصمیم درست می گیرند، صحبت می کند. این قضیه برای نخستین بار به وسیلهٔ مارکی دو کندورسه در سال ۱۷۸۵ میلادی تحت عنوان مقاله ای در باب کاربرد تحلیل احتمال رأی اکثریت مطرح شد.
قضیه در ساده ترین حالت فرض می کند که یک گروه می خواهد بر اساس رأی اکثریت تصمیم گیری کند. تنها، یکی از دو نتیجهٔ رأی گیری درست است و رأی دهنده ها با احتمال مستقل p رأی درست می دهند. قضیه در پی این پرسش است که چند نفر باید در گروه رأی دهندگان باشند. نتیجه بستگی به این دارد که p از 1 2 بیشتر باشد یا کمتر:
• اگر p {\displaystyle p} بیشتر از 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} باشد ( شرکت کنندگان با احتمال بیشتری رأی درست دهند ) ، افزوده شدن تعداد رأی دهندگان، احتمال صحت تصمیم گیری رأی اکثریت را افزایش می دهد و در بینهایت این مقدار به ۱ می رسد.
• در غیر این صورت، اگر p {\displaystyle p} کمتر از 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} باشد ( شرکت کنندگان با احتمال بیشتری رأی نادرست دهند ) ، افزایش تعداد رأی دهندگان همه چیز را بدتر می کند؛ در این حالت تعداد بهینهٔ هیئت منصفه یک نفر خواهد بود.
فرض کنید احتمال درستی رأی نفر اول p باشد ( احتمال نادرستی رأی نفر اول برابر است با 1 − p ) ، حال دو نفر به تعداد رأی دهندگان اضافه می شوند. احتمال این که این دو نفر رأی اکثریت نادرست را به رأی اکثریت درست تبدیل کنند برابر است با p 2 ( 1 − p ) و احتمال این که این دو نفر رأی درست را به رأی نادرست تبدیل کنند برابر است با p ( 1 − p ) ( 1 − p ) . در صورتی احتمال حالت اول بیشتر از حالت دوم است که p > 1 2 باشد.
در حالت کلی احتمال درستی رأی اکثریت برابر است با: P N = ∑ i = ( N + 1 ) / 2 N N ! ( N − i ) ! i ! p i ( 1 − p ) N − i و احتمال P N در صورتی از p بیشتر است که p > 1 2 باشد. [ ۱]
به طوری که:
• N {\displaystyle N} تعداد اعضای گروه و مقداری فرد،
• P N {\displaystyle P_{N}} احتمال درستی رأی اکثریت گروه،
• p {\displaystyle p} احتمال درستی رأی هر یک از اعضا،
• i {\displaystyle i} تعداد اعضای مورد نیاز برای تشکیل یک اکثریت است.