قضیه هال

قضیه هال یا قضیه هال ( ۱۹۳۵ ) قضیه ای مربوط به شاخه ترکیبیات و قضیهٔ گراف در ریاضی است. این قضیه که به ریاضی دان انگلیسی، فیلیپ هال نسبت داده می شود، شرط لازم و کافی برای وجود تطابق کامل در گراف های دوبخشی را بیان می کند. گراف های دوبخشی به گراف هایی گفته می شوند که رأس ها به دو دسته مجزا قابل افراز هستند بگونه ای که تمامی یال های گراف بین گره های بین دو دسته مختلف باشند.
۱ - مسیر M - متناوب: مسیری است که یالهای آن یکی در میان در تطابق M باشد.
۲ - مسیر M - افزوده: مسیر M - متناوبی است که یالهای ابتدایی و انتهایی آن داخل تطابق M نباشد.
در تطابق بیشینه مسیر M - افزوده وجود ندارد زیرا اگر فرض کنیم که یک مسیر M - افزوده در تطابق بیشینه ما وجود داشته باشد می توان با حذف یالهایی از مسیر افزوده که در تطابق هستند از تطابق و اضافه کردن یالهایی که در تطابق نیستند به تطابق اندازه تطابق را یک یال افزایش داد که این متناقض با بیشینه بودن تطابق است.
کمک گفتن از قضیهٔ گراف برای اثبات قضیهٔ هال به کمک گراف های دو بخشی، که اثبات می شود شرایط کافی و لازم برای وجود حداقل یک تطابق برای یک سمت گراف وجود دارد.
( G ( X+Y, E را یک گراف دو بخشی محدود با دو بخش X و Y در نظر بگیرید برای یک مجموعه از رئوس از مجموعه X مجموعه N را تعریف می کنیم که به هسایگی هایی از w در G ( مجموعه ای از ئوس از Y که در همسایگی با بعضی از عنصرهای w هستند براساس قضیهٔ ازدواج هال یک تطابق وجود دارد که کل x را پوشش دهد اگر و تنها اگر برای هر زیر مجموعه w از X رابطه روبرو برقرار باشد: |N|> = |w| یعنی هر زیر مجموعه w از X به اندازه کافی راس همسایه در Y دارد. برای یگ گراف دو بخشی ( G ( X+Y, E که با دو بخش X و Y با اندازه یکسان تئوری هال یک شرایط کافی و لازم برای وجود یک تطابق کامل در گراف است. یک راه حل برای گراف اصلی که الزاماً دو بخشی نیست توسط قضیهٔ Tutte ارائه می شود.
ابتدا اثبات می کنیم که اگ گراف دو بخشی ( G ( X+Y, E دارای یک تطابق کامل برای X است آنگاه |N|> = |w| برای همه w هایی که زیر مجموعه X هستند. فرض کنید M یک تطابق است که هر درجه از X را در بر می گیرد همه رئوس Y را که توسط M برای یک w مطابق شده اند به صورت ( M ( w نشان می دهیم بنابراین
حال اثبات می کنیم اگر برای همه w های زیر مجموعه X آنگاه ( G ( X+Y, E یک تطابق که هر راس را در X پوشش می دهد. شرایطی را فرض کنید که ( G ( X+Y, E یک گراف دو بخشی است که هیچ تطابقی برای آن که همه رأس های X را پوشش دهد وجود نداردM را یک تطابق ماکسیمم در نظر بگیرید و u را یک راس که توسط M پوشش داده نشده است در نظ بگیرید مسیرهای تناوبی را در نظر بگیرید ( مسیرهایی از G که به طور تناوبی از رأس های بیرون و درون M استفاده می کند از u شروع می کنیم مجموعهٔ همه راس هایی از Y که به u متصل هستند در مسیر تناوبی را T می نامیم و همه راس هایی از X که به u متصل هسند توسط مسیر تناوبی را ( که شامل خود u می شود ) را w در نظر بگیرید.