قضیه مقدار میانگین

قضیه مقدار میانگین یا قضیه لاگرانژ ( برای توابع پیوسته ) از مهم ترین قضایای حساب دیفرانسیل و انتگرال و آنالیز حقیقی است. قضیه ای با نام مشابه برای انتگرال ها وجود دارد.
در حساب دیفرانسیل و انتگرال کمتر قضیه ای به اندازه قضیه مقدار میانگین و تعمیمهایش کارساز است و حتی بعضی آن را مهم ترین قضیه حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانند.
صورت این قضیه چنان ساده است که ممکن است در نگاه اول متوجه اهمیت نتایج فراوان آن نشوید. این قضیه، ریاضیات لازم را برای برآورد کردن مقدار خطای ناشی از تقریب زدن خطی در اختیار ما می گذارد و به وسیله آن می توان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن را توجیه کرد. اولین قدم برای درک این قضیه، دانستن صورت اولیه آن یعنی قضیه رل است.
در حقیقت این قضیه صورتی کلی تر از قضیه رُل را به ما نشان می دهد.
تابع Φ ( x ) = f ( x ) − η x را در نظر می گیریم که در آن η عددی ثابت است. تابع Φ در بازه پیوسته و در ( a، b ) مشتق پذیر است.
حال η را به گونه ای تعریف می کنیم که Φ ( a ) = Φ ( b ) در این صورت باید داشته باشیم:
پس
پس تابع
تابعی است که در بازه در شرایط قضیه رل صدق می کند پس حداقل یک نقطه چون ( c∈ ( a، b موجود است که:
پس
و برهان قضیه کامل می شود. ∎
در واقع در اثبات قضیه مقدار میانگین سعی شد تابعی ساخته شود که از آن با استفاده از قضیه رل بتوانیم به نتیجه مورد نظر برسیم.
فرض کنید f در بازه ای شامل x 0 + Δ x , x 0 مشتق پذیر باشد.
در این صورت، نمو f در x0 را می توان به شکل:
نوشت که در آن 0 < θ < 1 .
f بر بازه پیوسته و در ( x 0 , x 0 + Δ x ) مشتق پذیر است پس بنابر قضیه مقدار میانگین نقطه ای چون c ∈ ( x 0 , x 0 + Δ x ) وجود دارد که:
پس:
از طرفی داریم x 0 < c < x 0 + Δ x پس 0 < c − x 0 < Δ x ولذا
پس قرار می دهیم θ = c − x 0 Δ x و به این ترتیب:
حال با قرار گرفتن c در رابطه ( * ) خواهیم داشت:
و لذا حکم ثابت می شود. ∎
به عنوان مثال اگر f ( x ) =x2 خواهیم داشت:
پس f ′ ( x ) = 2 x .
θ مناسب برابر است با θ = 1 2 چون در این صورت داریم:
= 2 ( x 0 + 1 2 Δ x ) Δ x = 2 x 0 Δ x + ( Δ x ) 2 = Δ f ( x 0 )