قضیه تیلور

چندجمله ای تیلور مقدار تقریبی یک تابع مشتق پذیر را در همسایگی یک نقطه به دست می آورد. ضرایب این چندجمله ای را مشتق های این تابع در نقطه مذکور تشکیل می دهند. این نظریه به نام ریاضیدان بروک تیلور نامیده شده است.
قضیه تیلور نخستین بار توسط تیلور در سال ۱۷۱۲ مطرح گردید. با این حال، بیان صریح و روشن از خطا بسیار بعدها توسط ژوزف لویی لاگرانژ ارائه شد. بیان جدید این نظریه در سال ۱۶۷۱ توسط جیمز گرگوری اشاره شده است. قضیه تیلور در دوره سطح مقدماتی حساب دیفرانسیل و انتگرال آموزش داده شده است و از آن است که یکی از ابزار ابتدایی و اصلی در آنالیز ریاضی است. تعمیم قضیه تیلور در هندسه دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده می شود.
اگر تابع f در نقطه a مشتق پذیر باشد و آنگاه f دارای یک تقریب خطی درنقطه a است. این به این معنی است که h1 وجود دارد:
که:
میزان تقریب خطا:
که اگر بخواهیم هرچه بیشتر به نقطه a نزدیک شویم از چندجمله ای درجه دوم:
که میزان تقریب خطا:
به همین ترتیب اگر از چندجمله ایهای درجه بالاتر استفاده کنیم بیشتر به نقطه a نزدیک می شویم.
تابع زیر یک تابع از درجه k از چندجمله ای تیلور در نقطه a است:
در این صورت fوجود دارد:
در این صورت برخورد مجانبی تابع خطا در نقطه a:
برای عددی در این فاصله باز است.
اگر ( G ( t d یک تابع پیوسته در یک فاصله بسته باشد و همواره مشتق پذیر در یک فاصله باز بین a و x باشد:
بسیاری اوقات تخمین تابع خطا مفیدتر از ایجاد یک فرم کلی برای آن است. فرض کنید f یک تابع k+1 بار در بازه I شامل نقطه a مشتق پذیر است. حال فرض کنید مقادیر حقیقی q و Q وجود داشته باشند که:
آنگاه تابع خطا در نامساوی:
اگر f یک تابع با دامنه U از فضای حقیقی n بعدی به R باشد و همچنین f در نقطه دلخواه x عضو U مشتق پذیر باشد، میتوان نوشت:
اگر f یک تابع با دامنه U از فضای حقیقی n بعدی به R باشد و همچنین f در نقطه دلخواه x عضو U دارای مشتقات پیوسته تا مرتبه سوم باشد، میتوان نوشت: