قضیه بورسوک اولام

قضیه بورسوک - اولام[ الف] ، در ریاضیات، بیان می کند که هر تابع پیوسته از یک کره n به فضای n اقلیدسی، یک جفت نقطه پادپای را به همان نقطه تصویر می کند. در اینجا، دو نقطه روی یک کره اگر دقیقاً در جهت مخالف مرکز کره باشند، پادپای نامیده می شوند.
با تعریف رسمی: اگر f : S n → R n پیوسته باشد، وجود دارد x ∈ S n به طوری که: f ( − x ) = f ( x ) .
برای n = 1 ، این قضیه بیانگر اینست که همیشه یک جفت نقطه مخالف در استوای زمین با دمای یکسان وجود دارد. همین امر برای هر دایره ای نیز صادق است. این قضیه با فرض این بدست آمده است که دما به طور پیوسته در فضا تغییر می کند.
برای n = 2 ، بیانگر اینست که در هر لحظه، یک جفت نقطه پادپای روی سطح زمین با دما و فشار یکسان وجود دارد. ( مجدداً با فرض اینکه هر دو پارامتر به طور پیوسته در فضا تغییر می کنند. )
به گفته جری ماتوشک اولین ذکر تاریخی از بیان قضیه بورساک - اولسام در ( Lyusternik و Shnirel'man 1930 ) ظاهر می شود. اولین اثبات توسط کارول بورساک ارائه شد، که در آن صورت بندی مسئله به استانیسلاو اولام نسبت داده شد. از آن زمان، اثبات های جایگزین مختلفی توسط نویسندگان مختلف پیدا شده است، که توسط ( Steinlein 1985 ) جمع آوری شده است.
عبارت های زیر معادل قضیه بورساک - اولام هستند. [ ۱]
یک تابع فرد نامیده می شود اگر: g ( − x ) = − g ( x ) .
قضیه بورساک - اولام معادل عبارت زیر است: یک تابع فرد پیوسته از یک کره n به فضای n اقلیدسی دارای صفر است.
اثبات:
• اگر قضیه صحیح باشد، به طور خاص برای توابع فرد نیز صحیح است، اگر g فرد باشد داریم: g ( − x ) = g ( x ) {\displaystyle g ( - x ) =g ( x ) } و همچنین g ( x ) = 0 {\displaystyle g ( x ) =0} . چون هر تابع فردی شامل مبدا مختصات است . بنابراین هر تابع پیوسته فرد دارای یک صفر است.
• برای هر تابع پیوسته f {\displaystyle f} ، تابع زیر پیوسته و فرد است: g ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) {\displaystyle g ( x ) =f ( x ) - f ( - x ) } . اگر هر تابع فرد پیوسته یک صفر داشته باشد، پس g {\displaystyle g} صفر دارد و بنابراین f ( x ) = f ( − x ) {\displaystyle f ( x ) =f ( - x ) } . از این رو قضیه صحیح است.
↑ ( به انگلیسی: Borsuk–Ulam theorem )