قضیه بطلمیوس

اگر A B C D یک چهار ضلعی دلخواه باشد آنگاه داریم A B × C D + B C × D A ≥ A C × B D و تساوی هنگامی اتفاق می افتد که A B C D یک چهارضلعی محاطی باشد. توجه: A C و B D دو قطر چهارضلعی اند.
نقطه E طوری انتخاب می کنیم که مثلث D C E متشابه با A B C شود. حال چون ∠ D C E = ∠ B C A پس ∠ L C D = ∠ A C E همچنین به دلیل تشابه دو مثلث A B C و D C E داریم B C A C = D C C E دو نتیجه اخیر نشان از تشابه دو مثلث B C D و A C E دارد و این خود رابطه A E B D = A C B C ⇒ A E = A C × B D B C را نتیجه می دهد. حال در مثلث A D E طبق نامساوی مثلثی داریم: A D + D E ≥ A E به جای A E مقدار A C × B D B C را قرار داده و دو طرف نامساوی را در B C ضرب می کنیم. رابطه B C × a d + B C × D E ≥ A C × B D حاصل می شود. حال تنها کافی است نشان دهیم B C × D E = A B × D C که این نیز از تشابه دو مثلث A B C و D C E به دست می آید.
• اگر A B C {\displaystyle \; ABC} یک مثلث متساوی الاضلاع باشد و P {\displaystyle \; P} نقطه ای دلخواه بیرون از مثلث و درون زاویه A ^ {\displaystyle \; {\hat {A}}} آنگاه داریم P A ≤ P B + P C {\displaystyle PA\leq PB+PC} و هنگامی که P {\displaystyle \; P} روی کمان B C {\displaystyle \; {BC}} از دایره محیطی مثلث باشد، تساوی رخ می دهد