قضیه اساسی حسابان

قضیهٔ اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال ( حسابان ) ، همان طور که از نامش مشخص است، از مهم ترین قضایای حساب دیفرانسیل و انتگرال است که رابطه ای میان انتگرال معین و نامعین به وجود می آورد و همچنین روشی برای محاسبهٔ دقیق انتگرال معین یک تابع ارائه می دهد.
این قضیه دارای دو بخش است. بخش اول را قضیهٔ اساسی اول حساب دیفرانسیل و انتگرال ( حسابان ) می گویند که رابطه ای میان انتگرال معین و نامعین برقرار می کند و قضیهٔ دوم را قضیهٔ اساسی دوم حساب دیفرانسیل و انتگرال می نامند که روشی برای محاسبهٔ انتگرال نامعین ارائه می دهد. البته در برخی منابع به قسمت اول قضیهٔ اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال گفته می شود و قسمت دوم ( قضیهٔ اساسی دوم حساب دیفرانسیل و انتگرال ) را به عنوان نتیجه ای از قضیهٔ اول بیان می کنند. ما در اینجا از مورد اول پیروی می کنیم و هر یک را جداگانه بررسی می کنیم.
صورت ضعیف تری از قضیه و اثبات آن نخستین بار توسط جیمز جرجی ( ۱۶۷۵–۱۶۳۸ ) منتشر شد. سپس نسخهٔ جامع تری از قضیه توسط آیزاک بارو ( ۱۶۳۰–۱۶۷۷ ) اثبات شد. پس از او دانشجوی او ایزاک نیوتن ( ۱۷۲۷–۱۶۴۳ ) آن را تا حد یک نظریهٔ جامع ریاضی توسعه داد و همزمان با او گوتفرید لایبنیتس ( ۱۷۱۶–۱۶۴۶ ) با نظام مند کردن آن دانش برای مقادیر بسیار کوچک، آن را به صورت نظریه ای که امروز می شناسیم ارائه کرد.
همان طور که اشاره شد، این قضیه دارای دو بخش است که هر یک را جداگانه بیان و اثابت می کنیم.
فرض کنید f تابعی پیوسته در بازه بسته باشد. در این صورت تابع ( F ( x برای هر x در این بازه که به صورت:
تعریف می شود یک پادمشتق f است، یعنی:
به این ترتیب رابطه ای بین انتگرال معین و نامعین یک تابع وجود دارد. هر پادمشتق یک تابع در هر نقطه به صورت یک انتگرال معین قابل بیان است.
برای اثبات قضیه نشان می دهیم که مشتق ( F ( x در بازه برابر ( f ( x است. برای هر x متعلق به بازه
داریم:
پس:
حال چون f در بازه پیوسته است بنابر قضیه مقدار میانگین برای انتگرال ها، به ازای [c∈[x, x+Δx داریم:
با توجه به این مطالب ( ۱ ) را می توان به این صورت نوشت:
اما x ≤ c ≤ x + Δ x و وقتی که Δ x → 0 بنابر قضیه فشردگی، c → x پس عبارت فوق را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
اما چون f تابعی پیوسته است پس lim c → x f ( c ) = f ( x ) ولذا و برهان کامل است. ∎