در نظریه احتمالات قضیه ای وجود دارد که با نام های قانون کل امید ریاضی، قانون امید ریاضی کل[ ۱] ( به انگلیسی: Law of total expectation ) ، قانون برج[ ۲] یا قانون آدام شناخته می شود. این قانون بیان می کند که اگر X متغیری تصادفی باشد که امید ریاضی آن E ( X ) تعریف شده باشد، و Y یک متغیر تصادفی دلخواه روی همان فضای نمونه باشد، آنگاه E ( X ) = E ( E ( X ∣ Y ) ) ؛
به این معنی که امید ریاضیِ امید ریاضی X به شرط Y ، با امید ریاضی X برابر است.
می دانیم که E تابعی از متغیر تصادفی Y است که مقدارش در Y = y برابر با E می باشد. توجه کنید که E خود نیز یک متغیر تصادفی است.
یک خاصیت بی نهایت مهم از امید ریاضی شرطی این است که برای تمام متغیرهای تصادفی X و Y داریم
E ( X ) = E ( E ( X ∣ Y ) ) .
اگر Y یک متغیر تصادفی گسسته باشد، آنگاه معادله بیان می کند که
E ( X ) = ∑ y E P { Y = y }
درحالیکه اگر Y پیوسته با چگالی f Y ( y ) باشند، آنگاه معادله بیان می کند که
E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ E f Y ( y ) d y .
یک راه برای درک معادله تعبیری به شرح زیر است:
برای محاسبه E ( X ) ، می توانیم متوسط وزن دار شده مقدار امید ریاضی شرطی X به شرط Y = y را اختیار کنیم، بطوریکه که هر جمله E را توسط احتمال پیشامدی که روی آن شرط گذاشته شده است، وزن دار نماییم. این یک نتیجه بی نهایت مفید است که ما را قادر می سازد تا امیدهای ریاضی را با شرطی کردن روی برخی از مقادیر تصادفی مناسب محاسبه کنیم.
با این فرض که هر دو متغیر تصادفی X و Y گسسته باشند و روی فضای نمونه یکسانی تعریف شده باشند داریم
بنابر این معادلهٔ زیر برقرار است:
که به صورت دقیق تر یعنی:
در حالتی که X و Y متغیرهای تصادفی پیوسته با تابع چگالی احتمال توام f ( x , y ) هستند، قضیه را ثابت می کنیم.
E ( E ( X ∣ Y ) ) = ∫ − ∞ ∞ E ( X ∣ Y = y ) f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ x f X | Y ( x | y ) d x ) f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ x ( ∫ − ∞ ∞ f X | Y ( x | y ) f Y ( y ) d y ) d x = ∫ − ∞ ∞ x ( ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) f Y ( y ) f Y ( y ) d y ) d x = ∫ − ∞ ∞ x ( ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y ) d x = ∫ − ∞ ∞ x f X ( x ) d x = E ( X )
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفبه این معنی که امید ریاضیِ امید ریاضی X به شرط Y ، با امید ریاضی X برابر است.
می دانیم که E تابعی از متغیر تصادفی Y است که مقدارش در Y = y برابر با E می باشد. توجه کنید که E خود نیز یک متغیر تصادفی است.
یک خاصیت بی نهایت مهم از امید ریاضی شرطی این است که برای تمام متغیرهای تصادفی X و Y داریم
E ( X ) = E ( E ( X ∣ Y ) ) .
اگر Y یک متغیر تصادفی گسسته باشد، آنگاه معادله بیان می کند که
E ( X ) = ∑ y E P { Y = y }
درحالیکه اگر Y پیوسته با چگالی f Y ( y ) باشند، آنگاه معادله بیان می کند که
E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ E f Y ( y ) d y .
یک راه برای درک معادله تعبیری به شرح زیر است:
برای محاسبه E ( X ) ، می توانیم متوسط وزن دار شده مقدار امید ریاضی شرطی X به شرط Y = y را اختیار کنیم، بطوریکه که هر جمله E را توسط احتمال پیشامدی که روی آن شرط گذاشته شده است، وزن دار نماییم. این یک نتیجه بی نهایت مفید است که ما را قادر می سازد تا امیدهای ریاضی را با شرطی کردن روی برخی از مقادیر تصادفی مناسب محاسبه کنیم.
با این فرض که هر دو متغیر تصادفی X و Y گسسته باشند و روی فضای نمونه یکسانی تعریف شده باشند داریم
بنابر این معادلهٔ زیر برقرار است:
که به صورت دقیق تر یعنی:
در حالتی که X و Y متغیرهای تصادفی پیوسته با تابع چگالی احتمال توام f ( x , y ) هستند، قضیه را ثابت می کنیم.
E ( E ( X ∣ Y ) ) = ∫ − ∞ ∞ E ( X ∣ Y = y ) f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ x f X | Y ( x | y ) d x ) f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ x ( ∫ − ∞ ∞ f X | Y ( x | y ) f Y ( y ) d y ) d x = ∫ − ∞ ∞ x ( ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) f Y ( y ) f Y ( y ) d y ) d x = ∫ − ∞ ∞ x ( ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y ) d x = ∫ − ∞ ∞ x f X ( x ) d x = E ( X )
wiki: قانون امید ریاضی کل