در هندسه اقلیدسی، فرمول براهْماگوپتا دستوری برای یافتن مساحت هر چهار ضلعی محاطی با دانستن طول اضلاع یک چهارضلعی دلخواه است.
فرض کنیم مساحت چهارضلعی K باشد و طول اضلاع آن a, b, c, d باشد. در این صورت فرمول براهماگوپتا بدین قرار است:
که در آن s برابر نصف محیط است:
این فرمول تعمیمی از فرمول هرون است. مثلث را می توان چهار ضلعی ای در نظر گرفت که طول یکی از اضلاع آن صفر است. از این منظر، با نزدیک کردن d به صفر، چهار ضلعی محاطی به یک مثلث محاطی تبدیل می شود ( همه مثلث ها محاطی هستند ) ، و فرمول برهماگوپتا به فرمول هرون تبدیل می شود.
اگر نخواهیم از نصف محیط در فرمول براهماگوپتا استفاده کنیم فرمول بدین صورت خواهد بود:
هم ارز دیگر آن این است:
مساحت چهار ضلعی محاطی K برابر با حاصل جمع مساحت مثلث های △ADB و △BDC است:
اما از آنجایی که ABCD یک چهار ضلعی محاطی است پس، ∠DAB = ۱۸۰° − ∠DCB.
از این رو sin A = sin C
پس:
برای پیدا کردن ضلع مشترک DB در △ADB و △BDC از قانون کسینوس ها استفاده می کنیم:
با توجه بهcos C = −cos A ( از آنجایی که زوایای A و C مکمل هستند ) داریم:
رابطهٔ بالا را در معادله ای که ابتدا به دست آوردیم جایگذاری می کنیم:
سمت راست به فرم a2 − b2 = ( a − b ) ( a + b ) است پس توان نوشت:
که با ساده کردن عبارت در براکت ها، می دهد:
نیم قطر ( S = p + q + r + s/2 ) را در فرمول وارد می کنیم:
از دو طرف جذر می گیریم:
اثبات جایگزین و غیر مثلثاتی نیز وجود دارد که از دو کاربرد فرمول هرون در مثلث های مشابه استفاده می کند. [ ۱]
در مورد چهارگوشه های غیر محاطی، فرمول برهماگوپتا قابل تعمیم است ولی باید اندازهٔ دو زاویه مقابل چهار ضلعی را در نظر بگیریم:
گه در آن θ برابر میانگین دو زاویهٔ مقابل است. ( توجه کنید که انتخاب هر کدام از جفت زاویه های مقابل تأثیری در نتیجه ندارد: اگر دو زاویه مقابل دیگر گرفته شود، میانگین آنها برابر با ۱۸۰° − θ می شود و از آنجایی که cos ( 180° − θ ) = −cos θ، cos2 ( 180° − θ ) = cos2 θ. نتیجه فرقی نمی کند ) این فرمول تعمیم یافته با نام فرمول Bretschneider نیز شناخته می شود.
یک فرمول مرتبط، که Coolidge آن را اثبات کرده است و با آن می توان مساحت تمام چهار ضلعی های محدب را حساب کرد. این فرمول است[ ۲]
که در آن p و q طول قطرهای چهار ضلعی است. در یک چهارگوش محاطی، بر اساس قضیه بطلمیوس pq = ac + bd، و با این جایگذاری فرمول Coolidge به فرمول براهما گوپتا تقلیل میابد.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلففرض کنیم مساحت چهارضلعی K باشد و طول اضلاع آن a, b, c, d باشد. در این صورت فرمول براهماگوپتا بدین قرار است:
که در آن s برابر نصف محیط است:
این فرمول تعمیمی از فرمول هرون است. مثلث را می توان چهار ضلعی ای در نظر گرفت که طول یکی از اضلاع آن صفر است. از این منظر، با نزدیک کردن d به صفر، چهار ضلعی محاطی به یک مثلث محاطی تبدیل می شود ( همه مثلث ها محاطی هستند ) ، و فرمول برهماگوپتا به فرمول هرون تبدیل می شود.
اگر نخواهیم از نصف محیط در فرمول براهماگوپتا استفاده کنیم فرمول بدین صورت خواهد بود:
هم ارز دیگر آن این است:
مساحت چهار ضلعی محاطی K برابر با حاصل جمع مساحت مثلث های △ADB و △BDC است:
اما از آنجایی که ABCD یک چهار ضلعی محاطی است پس، ∠DAB = ۱۸۰° − ∠DCB.
از این رو sin A = sin C
پس:
برای پیدا کردن ضلع مشترک DB در △ADB و △BDC از قانون کسینوس ها استفاده می کنیم:
با توجه بهcos C = −cos A ( از آنجایی که زوایای A و C مکمل هستند ) داریم:
رابطهٔ بالا را در معادله ای که ابتدا به دست آوردیم جایگذاری می کنیم:
سمت راست به فرم a2 − b2 = ( a − b ) ( a + b ) است پس توان نوشت:
که با ساده کردن عبارت در براکت ها، می دهد:
نیم قطر ( S = p + q + r + s/2 ) را در فرمول وارد می کنیم:
از دو طرف جذر می گیریم:
اثبات جایگزین و غیر مثلثاتی نیز وجود دارد که از دو کاربرد فرمول هرون در مثلث های مشابه استفاده می کند. [ ۱]
در مورد چهارگوشه های غیر محاطی، فرمول برهماگوپتا قابل تعمیم است ولی باید اندازهٔ دو زاویه مقابل چهار ضلعی را در نظر بگیریم:
گه در آن θ برابر میانگین دو زاویهٔ مقابل است. ( توجه کنید که انتخاب هر کدام از جفت زاویه های مقابل تأثیری در نتیجه ندارد: اگر دو زاویه مقابل دیگر گرفته شود، میانگین آنها برابر با ۱۸۰° − θ می شود و از آنجایی که cos ( 180° − θ ) = −cos θ، cos2 ( 180° − θ ) = cos2 θ. نتیجه فرقی نمی کند ) این فرمول تعمیم یافته با نام فرمول Bretschneider نیز شناخته می شود.
یک فرمول مرتبط، که Coolidge آن را اثبات کرده است و با آن می توان مساحت تمام چهار ضلعی های محدب را حساب کرد. این فرمول است[ ۲]
که در آن p و q طول قطرهای چهار ضلعی است. در یک چهارگوش محاطی، بر اساس قضیه بطلمیوس pq = ac + bd، و با این جایگذاری فرمول Coolidge به فرمول براهما گوپتا تقلیل میابد.
wiki: فرمول براهماگوپتا