فرمول انتگرال کوشی

در ریاضیات، فرمول انتگرال کوشی که به احترام آگوستین لوییز کوشی نامگذاری شده است، یک حکم اساسی در آنالیز مختلط است و این حقیقت را بیان می کند که یک تابع هولومورفیک ( Holomorphic function ) تعریف شده بر روی یک قرص، به طور کامل با مقادیرش بر روی حاشیهٔ قرص مشخص می شود. این فرمول همچنین می تواند برای ساده کردن انتگرال همهٔ مشتقات یک تابع تحلیلی به کار رود.
فرض کنید U یک زیر مجموعه باز از صفحه مختلط C باشد، و f : U → C یک تابع هلومورفیک باشد، و قرص
D = { z: | z − z0| ≤ r} تماماً درون U قرار داشته باشد؛ و فرض کنید C دایره ای باشد که مرز D را تشکیل می دهد. آنگاه برای هر a در درون D داریم:
که انتگرال کانتور ( contour integral ) در جهت پادساعتگرد گرفته شده است.
اثبات این حکم از قضیهٔ انتگرال کوشی استفاده می کند و مانند آن قضیه فقط به مشتق پذیر بودن f نیاز دارد. از فرمول می توان نتیجه گرفت که f در حقیقت باید بی نهایت بار به طور پیوسته مشتق پذیر باشد، با
برخی این عبارت را فرمول مشتق گیری کوشی می نامند. یک اثبات برای آن، نتیجهٔ فرعی این قضیه است که توابع هولومورفیک تحلیلی اند.
می توان دایرهٔ C را با هر منحنی تصحیح پذیر بسته در U که هیچ تقاطعی نداشته باشد و پادساعتگرد جهت دار باشد جایگزین کرد. فرمول برای هر نقطهٔ a از ناحیهٔ احاطه شده توسط این مسیر معتبر باقی می ماند. علاوه بر این، فقط در مورد قضیهٔ انتگرال کوشی، کافیست که f در ناحیه باز احاطه شده توسط منحنی، تحلیلی و بر حاشیهٔ آن پیوسته باشد.
این فرمول ها می توانند برا اثبات قضیه مانده ( residue theorem ) استفاده شوند، که یک تعمیم وسیع است.
با استفاده از قضیه انتگرال کوشی می توان نشان داد که انتگرال بر روی C ( یا منحنی بستهٔ تصحیح پذیر ) برابر است با انتگرال مشابهی که بر روی یک دایرهٔ بسیار کوچک دور a گرفته شده است. مادامی که f ( z ) پیوسته است، می توانیم دایره ای به قدر کافی کوچک انتخاب کنیم که f ( z ) بر روی آن تقریباً ثابت و برابر f ( a ) باشد. آنگاه باید انتگرال: ∫ 1 z − a d z را بر روی این دایرهٔ کوچک حساب کنیم. این انتگرال با استفاده از تغییر متغیر قابل حل است. قرار دهید.
که در آن 0 ≤ t ≤ 2 π و ε → 0 . این نشان می دهد که مقدار این انتگرال مستقل از شعاع دایره و برابر 2 π i است.