در جبر خطی ضرب ماتریس به عملیات ضرب یک ماتریس با یک کمیت نرده ای یا یک ماتریس دیگر گفته می شود. در این مقاله سعی شده است تا نگاهی به انواع مختلف ضرب ماتریسی داشته باشیم.
ضرب معمولی ماتریس ها رایج ترین نوع ضرب در ماتریس هاست. این نوع ضرب تنها زمانی تعریف می شود که تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل ضرب یک ماتریس mدرn در یک ماتریس n در p یک ماتریس m در p است، به همین صورت اگر لیستی از ماتریس ها برای ضرب را داشته باشیم که ابعاد مختلفی دارند ( مانند mدرn , nدرp , pدرq , qدرr ) بُعد ماتریس حاصل ضرب از تعداد سطرهای اولین ماتریس و تعداد ستون های آخرین ماتریس می آید ( مثلاً در لیست ذکر شده در بالا بعد ماتریس حاصلضرب m در r خواهد بود ) . توجه به این نکته نیز لازم است که ضرب ماتریس ها خاصیت جابجایی ندارد.
ضرب معمولی به این صورت تعریف می شود
3 × 4 matrix 4 × 5 matrix = 3 × 5 matrix
که در آن درایه x 3 , 4 برابر است با:
x 3 , 4 = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ⋅ ( a , b , c , d ) = 1 × a + 2 × b + 3 × c + 4 × d .
برای به یادسپاری این موضوع می توان ضرب معمولی را به این صورت القا کرد که سطر اول در ستون اول درایه اول یا به صورت کلی تر سطر mم در ستون nم درایه mnم.
فرض کنید برای A ∈ F m × n و B ∈ F n × p در میدان F که ( A B ) ∈ F m × p ، درایه های AB به صورت زیر بدست می آیند:
( A B ) i , j = ∑ r = 1 n A i , r B r , j
در اینجا i و j را اعداد طبیعی در نظر می گیریم که 1 ≤ j ≤ p و 1 ≤ i ≤ m .
ضرب داخلی و ضرب خارجی در حقیقت صورت های خاص و ساده شده ای از ضرب معمولی ماتریس ها هستند. ضرب دو بردار ستونی A و B به صورت A ⋅ B = A T B می باشد، دراینجا T نشانگر ترانهاده ماتریس است. به صورت صریح تر:
ضرب خارجی به صورت A ⊗ B = A B T تعریف می شود که:
ضرب ماتریس ها در پناه این دو عمل می تواند به صورت قطعه ای مورد بحث قرار گیرد. برای شروع تجزیهٔ ماتریس به بردارهای سطری و بردارهای ستونی را بررسی می کنیم، در شکل زیر ماتریس A را به وسیله ماتریسی با بردارهای سطری و ماتریس B را به وسیله ماتریسی با بردارهای ستونی نمایش می دهیم:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفضرب معمولی ماتریس ها رایج ترین نوع ضرب در ماتریس هاست. این نوع ضرب تنها زمانی تعریف می شود که تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل ضرب یک ماتریس mدرn در یک ماتریس n در p یک ماتریس m در p است، به همین صورت اگر لیستی از ماتریس ها برای ضرب را داشته باشیم که ابعاد مختلفی دارند ( مانند mدرn , nدرp , pدرq , qدرr ) بُعد ماتریس حاصل ضرب از تعداد سطرهای اولین ماتریس و تعداد ستون های آخرین ماتریس می آید ( مثلاً در لیست ذکر شده در بالا بعد ماتریس حاصلضرب m در r خواهد بود ) . توجه به این نکته نیز لازم است که ضرب ماتریس ها خاصیت جابجایی ندارد.
ضرب معمولی به این صورت تعریف می شود
3 × 4 matrix 4 × 5 matrix = 3 × 5 matrix
که در آن درایه x 3 , 4 برابر است با:
x 3 , 4 = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ⋅ ( a , b , c , d ) = 1 × a + 2 × b + 3 × c + 4 × d .
برای به یادسپاری این موضوع می توان ضرب معمولی را به این صورت القا کرد که سطر اول در ستون اول درایه اول یا به صورت کلی تر سطر mم در ستون nم درایه mnم.
فرض کنید برای A ∈ F m × n و B ∈ F n × p در میدان F که ( A B ) ∈ F m × p ، درایه های AB به صورت زیر بدست می آیند:
( A B ) i , j = ∑ r = 1 n A i , r B r , j
در اینجا i و j را اعداد طبیعی در نظر می گیریم که 1 ≤ j ≤ p و 1 ≤ i ≤ m .
ضرب داخلی و ضرب خارجی در حقیقت صورت های خاص و ساده شده ای از ضرب معمولی ماتریس ها هستند. ضرب دو بردار ستونی A و B به صورت A ⋅ B = A T B می باشد، دراینجا T نشانگر ترانهاده ماتریس است. به صورت صریح تر:
ضرب خارجی به صورت A ⊗ B = A B T تعریف می شود که:
ضرب ماتریس ها در پناه این دو عمل می تواند به صورت قطعه ای مورد بحث قرار گیرد. برای شروع تجزیهٔ ماتریس به بردارهای سطری و بردارهای ستونی را بررسی می کنیم، در شکل زیر ماتریس A را به وسیله ماتریسی با بردارهای سطری و ماتریس B را به وسیله ماتریسی با بردارهای ستونی نمایش می دهیم:
wiki: ضرب ماتریسی