ضرب دکارتی

ضرب دکارتی یا حاصلضرب دکارتی ( به انگلیسی: Cartesian product ) در مجموعه، عملگری در ریاضیات است که برای ایجاد زوج مرتب از اعضای دو مجموعه عمل وند آن بکار می رود. با استفاده از این عمل همه ترکیبات ممکن دوتایی از اعضای دو مجموعه ایجاد خواهد شد. در زوج های مرتّب تولید شده عضو نخست از اولین مجموعه و عضو دو از دومین مجموعه انتخاب می شود.
حاصلضرب دکارتی مجموعه های X و Y به صورت X × Y نوشته شده و تعریف زیر را دارا است:
X × Y = { ( x , y ) | x ∈ X ∧ y ∈ Y }
عدد اصلی در یک مجموعه برابر با شمارگان اعضای آن مجموعه است. به عنوان مثال دو مجموعه ی A و B را در نظر بگیرید.
مجموعه A شامل a و b
مجموعه B شامل 5 و 6
هر یک از این مجموعه ها شامل دو عنصر هستند و ضرب دکارتی آن ها به شکل زیر است:
( a, 5 ) , ( a, 6 ) , ( b, 5 ) , ( b, 6 )
هر کدام از عناصر در مجموعه ی حاصل دارای دو عضو هستند که برابر با عدد اصلی در مجموعه های مادر است ( در این مثال 2 ) . عدد اصلی در مجموعه ی نهایی نیز برابر با حاصلضرب اعداد اصلی مجموعه های مادر است ( در این مثال 4 = 2 × 2 )
بیشتر اوقات ترتیب عناصر در یک درایه مهم است. چون مجموعهها بدون ترتیب هستند، یک ساختار متفاوت برای نمایش درایه های مرتب لازم است.
این امر به وسیلهٔ n_تایی های مرتب حاصل می شود.
n_تایی مرتب a 1 , a 2 , . . . , a n یک گردایه مرتب است اگر a1 عنصر اول، a2 عنصر دوم، . . . و an عنصر n ام ان است.
به عبارت دیگر ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) = ( b 1 , b 2 , . . . , b n )
حاصلضرب کارتزین دو مجموعه A و B، مجموعه تمام زوج مرتب ( a , b ) که به صورت زیر نشان داده می شود:
A×B={ ( a, b ) | 'a' be a member of 'A' , 'b' be a member of 'B'}