سد پتانسیل محدود

در مکانیک کوانتومی، سد پتانسیل محدود یک مسئله یک بعدی استاندارد برای نشان دادن وجود تونل زنی کوانتمی و بازتاب کوانتمی است. مسئله متشکل از حل یک بعدی مستقل از زمان معادله شرودینگر برای یک ذره در مواجهه با یک سد پتانسیل است که معمولاً فرض گرفته می شود که ذره آزاد از سمت چپ به سد برخورد می کند.
اگر چه به طور کلاسیک یک ذره به عنوان یک نقطه در برخورد با سد پتانسیل منعکس خواهد شد، در مکانیک کوانتم، یک ذره در واقع با رفتار موجی، با احتمال غیر صفر در می تواند در مانع نفوذ کند و از آن بگذرد. احتمال این که ذرات از مانع عبور کنند با ضریب انتقال بیان می شود در حالی که احتمال انعکاس آنها با توجه به ضریب بازتاب است. معادله شرودینگر اجازه محاسبه این ضرایب را می دهد.
معادله مستقل از زمان شرودینگر برای تابع موج ψ ( x ) این است:
که در آن H هامیلتونین است، ℏ ضریب کاهیده پلانک، m جرم، E انرژی ذره و
سد پتانسیل با ارتفاع V 0 > 0 و عرض a است. Θ ( x ) = 0 , x < 0 ; Θ ( x ) = 1 , x > 0
که یک تابع پله ای هویساید است.
این سد بین x = 0 و x = a . قرار دارد. سد را می توان به هر موقعیت دلخواه x بدون تغییر نتایج منتقل کرد. بخش اول در هامیلتونی، − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ، انرژی جنبشی است.
این سد فضا را به سه بخش ( x < 0 , 0 < x < a , x > a ) تقسیم می کند. در هر یک از این قطعات پتانسیل ثابت است که به این معنی که ذرات شبه آزاد هستند و حل معادله شرودینگر می تواند به عنوان یک برهم نهی از حل های معادله موج نوشته شود. ( ر. ک. ذره آزاد ) . اگر E > V 0
که در آن عدد موج وابسته به انرژی از طریق زیر بدست می آید
شاخص r / l در ضرایب A و B نشان دهنده جهت بردار سرعت است. توجه داشته باشید که اگر انرژی از ذرات کمتر از ارتفاع سد باشد، k 1 موهومی می شود و تابع موج به صورت نمایی در سد کوچک می شود. با این حال، نماد r/l را حتی اگر امواج انتشار نیابند نگاه می داریم. در اینجا ما فرض کرده ایم E ≠ V 0 . حالت E = V 0 پایین تر توضیح داده شده است.
ضرایب A , B , C از شرایط مرزی تابع موج در x = 0 و x = a . بدست می آیند. تابع موج و مشتقاتش باید در همه جا پیوسته باشند.
قرار دادن توابع موج با شرایط مرزی زیر این شرایط را روی ضرایب اعمال می کند.