سامانه غیرخطی

در ریاضیات، سامانه غیرخطی ( به انگلیسی: Nonlinear system ) به سامانه ای گفته می شود که از اصل برهم نهی پیروی نکند یا به زبان دیگر، خروجی یا پاسخ آن متناسب با ورودی نباشد؛ در حالی که یک سامانه خطی این شرایط را برآورده می کند. به بیان دیگر، یک سامانه غیرخطی در جایی تعریف می شود که متغیر ( ها ) را نتوان به شکل ترکیبی خطی از اجزای مستقل نوشت. یک سامانه ناهمگن، که با وجود تابعی از متغیرهای مستقل خطی تلقی می شود، مطابق شرایط تعریف شده غیرخطی است، اما چنین سامانه ای معمولاً در کنار سامانه های خطی مطالعه می شود، زیرا که می توان آن ها را در یک سامانه خطی با چندین متغیر قرار داد.
در ریاضیات، تابع خطی f ( x ) در جایی تعریف می شود که هر دو شرایط ذیل را برآورده کند:
• جمع پذیری: f ( x + y )   = f ( x )   + f ( y ) {\displaystyle \textstyle f ( x+y ) \ =f ( x ) \ +f ( y ) }
• همگن بودن: f ( α x )   = α f ( x ) {\displaystyle \textstyle f ( \alpha x ) \ =\alpha f ( x ) }
( جمع پذیری دلالت بر همگن بودن به ازای هر مقدار عدد گویا برای ضریب α، و برای توابع پیوسته، به ازای هر مقدار عدد حقیقی برای α دارد. به ازای یک عدد مختلط برای α، خاصیت همگنی از جمع پذیری پیروی نمی کند؛ به عنوان مثال، یک تابع ضد - خطی anti - linear map قابلیت جمع پذیری دارد ولی همگن نیست ) شروط جمع پذیری و همگن بودن اغلب در قانون برهم نهی ( superposition principle ) یکی می شوند
معادله f ( x ) = C خطی است اگر f ( x ) یک نگاشت خطی باشد ( چنانچه در بالا توضیح داده شد ) وگر نه غیرخطی است؛ و اگر C = 0 معادله همگن خواهد بود.
معادلات جبری غیر خطی، که معادلات چندجمله ای هم خوانده می شوند، با مساوی صفر قراردادن چندجمله ای تعیین می شوند. به عنوان مثال
برای یک معادله چندجمله ای، الگوریتم ریشه یابی جهت حل معادله قابل استفاده می باشد. ( برای مثال، مجموعه ای از مقادیر برای متغیرها که شرایط معادله را برآورده می کند ) . هرچند که، سامانه های معادلات جبری پیچیده هستند؛ مطالعه آنها انگیزه ایست برای هندسه جبری، که شاخه ای دشوار از ریاضیات مدرن می باشد.
پاره ای از سامانه های دینامیکی را با استفاده از تعدادی متناهی[ ۱] از معادلات دیفرانسیل معمولی متصل به هم[ ۲] از درجهٔ اول مدل می نمائیم. در حالت کلی، برای سامانه ای متشکل از n معادله متصل به هم داریم: