در جبر مجرد، یک زیرگروه نرمال ( به انگلیسی: Normal Subgroup ) ( که به آن زیرگروه ناوردا یا زیرگروه خود - الحاقی نیز می گویند ) [ ۱] زیرگروهی است که تحت مزدوج گیری توسط اعضای گروهی که داخل آن قرار دارد ناورداست. به بیان دیگر، یک زیرگروه N از گروهی چون G در G نرمال است اگر و تنها اگر برای تمام g ∈ G و n ∈ N نتیجه شود g n g − 1 ∈ N . نمادگذاری رایج برای زیرگروه نرمال N ◃ G است.
زیرگروه های نرمال مهم اند، چرا که آن ها ( و فقط آن ها ) را می توان برای ساخت گروه های خارج قسمتیِ گروهِ داده شده مورد استفاده قرار داد. به علاوه، زیرگروه های نرمال G دقیقاً هسته های همریختی های گروهی با دامنه G اند؛ لذا می توان از این زیرگروه ها به طور ذاتی برای طبقه بندی چنین همریختی هایی بهره جست.
اواریسته گالوا اولین کسی بود که متوجه اهمیت وجود زیرگروه های نرمال شد. [ ۲]
یک زیرگروه N از G را زیرگروه نرمال از G گویند، اگر تحت مزدوج گیری ناوردا باشد؛ یعنی مزدوج عنصر دلخواهی از N تحت عنصر دلخواهی از G همیشه در N قرار بگیرد. [ ۳] نمادگذاری این رابطه N ◃ G است.
برای هر زیرگروه N از G ، شرایط زیر معادل اند با این که N زیر گروه نرمالی از G باشد. بنابراین هر کدام از آن ها را می توان به عنوان تعریف زیرگروه نرمال به کار برد:
• تصویر تزویجی ( تصویر تحت مزدوج گیری ) N {\displaystyle N} تحت هر عنصر G {\displaystyle G} زیرمجموعه ای از N {\displaystyle N} باشد. [ ۴]
• تصویر تزویجی N {\displaystyle N} تحت هر عنصر G {\displaystyle G} برابر N {\displaystyle N} باشد. [ ۴]
• برای تمام g ∈ G {\displaystyle g\in G} ، همدسته های چپ و راست g N {\displaystyle gN} و N g {\displaystyle Ng} برابر باشند. [ ۴]
• همدسته های چپ و راست N {\displaystyle N} در G {\displaystyle G} با هم یکی شوند. [ ۴]
• ضرب یک عنصر از همدسته چپ N {\displaystyle N} نسبت به g {\displaystyle g} و یک عنصر از همدسته چپ N {\displaystyle N} نسبت به h {\displaystyle h} ، عنصری از همدسته چپ N {\displaystyle N} نسبت به g h {\displaystyle gh} باشد: یعنی اگر ∀ x , y , g , h ∈ G {\displaystyle \forall x, y, g, h\in G} از x ∈ g N {\displaystyle x\in gN} و y ∈ h N {\displaystyle y\in hN} نتیجه شود که x y ∈ ( g h ) N {\displaystyle xy\in ( gh ) N} .
• N {\displaystyle N} برابر اجتماع رده های تزویجی G {\displaystyle G} باشد. [ ۲]
• N {\displaystyle N} تحت درون ریختی های داخلی از G {\displaystyle G} حفظ شود. [ ۵]
• همریختی گروهی چون G → H {\displaystyle G\rightarrow H} وجود دارد چنان که هسته آن N {\displaystyle N} باشد. [ ۲]
• برای تمام n ∈ N {\displaystyle n\in N} و g ∈ G {\displaystyle g\in G} ، جابجاگر = n − 1 g − 1 n g {\displaystyle =n^{ - 1}g^{ - 1}ng} در N {\displaystyle N} باشد.
• هر دو عنصر گروه G {\displaystyle G} در رابطه زیر صدق کنند:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفزیرگروه های نرمال مهم اند، چرا که آن ها ( و فقط آن ها ) را می توان برای ساخت گروه های خارج قسمتیِ گروهِ داده شده مورد استفاده قرار داد. به علاوه، زیرگروه های نرمال G دقیقاً هسته های همریختی های گروهی با دامنه G اند؛ لذا می توان از این زیرگروه ها به طور ذاتی برای طبقه بندی چنین همریختی هایی بهره جست.
اواریسته گالوا اولین کسی بود که متوجه اهمیت وجود زیرگروه های نرمال شد. [ ۲]
یک زیرگروه N از G را زیرگروه نرمال از G گویند، اگر تحت مزدوج گیری ناوردا باشد؛ یعنی مزدوج عنصر دلخواهی از N تحت عنصر دلخواهی از G همیشه در N قرار بگیرد. [ ۳] نمادگذاری این رابطه N ◃ G است.
برای هر زیرگروه N از G ، شرایط زیر معادل اند با این که N زیر گروه نرمالی از G باشد. بنابراین هر کدام از آن ها را می توان به عنوان تعریف زیرگروه نرمال به کار برد:
• تصویر تزویجی ( تصویر تحت مزدوج گیری ) N {\displaystyle N} تحت هر عنصر G {\displaystyle G} زیرمجموعه ای از N {\displaystyle N} باشد. [ ۴]
• تصویر تزویجی N {\displaystyle N} تحت هر عنصر G {\displaystyle G} برابر N {\displaystyle N} باشد. [ ۴]
• برای تمام g ∈ G {\displaystyle g\in G} ، همدسته های چپ و راست g N {\displaystyle gN} و N g {\displaystyle Ng} برابر باشند. [ ۴]
• همدسته های چپ و راست N {\displaystyle N} در G {\displaystyle G} با هم یکی شوند. [ ۴]
• ضرب یک عنصر از همدسته چپ N {\displaystyle N} نسبت به g {\displaystyle g} و یک عنصر از همدسته چپ N {\displaystyle N} نسبت به h {\displaystyle h} ، عنصری از همدسته چپ N {\displaystyle N} نسبت به g h {\displaystyle gh} باشد: یعنی اگر ∀ x , y , g , h ∈ G {\displaystyle \forall x, y, g, h\in G} از x ∈ g N {\displaystyle x\in gN} و y ∈ h N {\displaystyle y\in hN} نتیجه شود که x y ∈ ( g h ) N {\displaystyle xy\in ( gh ) N} .
• N {\displaystyle N} برابر اجتماع رده های تزویجی G {\displaystyle G} باشد. [ ۲]
• N {\displaystyle N} تحت درون ریختی های داخلی از G {\displaystyle G} حفظ شود. [ ۵]
• همریختی گروهی چون G → H {\displaystyle G\rightarrow H} وجود دارد چنان که هسته آن N {\displaystyle N} باشد. [ ۲]
• برای تمام n ∈ N {\displaystyle n\in N} و g ∈ G {\displaystyle g\in G} ، جابجاگر = n − 1 g − 1 n g {\displaystyle =n^{ - 1}g^{ - 1}ng} در N {\displaystyle N} باشد.
• هر دو عنصر گروه G {\displaystyle G} در رابطه زیر صدق کنند:
wiki: زیرگروه نرمال