روش های رونگه‐کوتا

به دسته ای از مهم ترین روشهای حل عددی معادلات دیفرانسیل عادی گفته می شود که توسط دو دانشمند آلمانی، رونگه و کوتا ابداع شده است. این روش شامل روش مرتبه اول ( اویلر ) ، روش اویلر اصلاح شده یا هیون ( Heun ) که به روش پیشگو نیز معروف است، نقطه میانی، مرتبه دوم، رالستون، مرتبه سوم و مرتبه چهارم می باشد. همانطور که در ادامه خواهیم دید، سایر روشهای حل معادلات دیفرانسیل معمولی مانند اویلر، هیون و نقط میانی، حالات خاصی از روش رانگ - کوتا به ویژه از مرتبه دوم هستند. یکی از پرکاربردترین این روش ها رانگ−کوتای مرتبه چهارم می باشد.
معادله دیفرانسیل معمولی زیر را با شرط اولیه داده شده را در نظر بگیرید.
فرمول کلی روش رانگ - کوتا به صورت زیر است.
که مقادیر a مقادیر ثابت و مقادیر kها به صورت زیر هستند و h مقدار گام است.
که در آن ضرایب p و q ضرایب ثابت هستند. لازم به ذکر است که این معادلات، روابط بازگشتی هستند یعنی در محاسبه هر k، از k قبلی استفاده می شود.
در روش رانگ - کوتای مرتبه اول از تقریب دوجمله ای بسط تیلور استفاده می شود.
خطای تخمین روش اویلر نیز از رابطه زیر محاسبه می شود.
در فرمول کلی رانگ - کوتا به ازای a 1 = 1 فرمول روش اویلر حاصل می شود.
در این روش به ازای a 1 = 1 − a 2 , p 1 = q 11 = 1 2 a 2 و هر مقدار a 2 دلخواه در فرمول کلی، حاصل می شود. لازم به ذکر است که این روش به خاطر دلخواه بودن مقدار a 2 بی شمار فرمول برای این روش وجود دارد. در ادامه خواهیم دید که با انتخاب مقادیر خاصی برای a 2 ، معادلات روشهای دیگر به دست می آید.
در این روش ابتدا یک مقدار برای y پیشگویی ( حدس زده ) می شود و سپس در معادله اصلاح گر ( Corrector ) قرار داده می شود و مقدار آن اصلاح می شود.
معادله بالا، معادله پیشگو ( Predictor ) نامیده می شود.
سپس میانگین شیب جدید و شیب اولیه در معادله اویلر قرار داده می شود.
معادله بالا، معادله اصلاح گر ( Corrector ) نامیده می شود.
این روش همان روش انتگرال گیری عددی ذوزنقه ای است که در آن:
خطای این روش نیز دقیقا همان خطای روش ذوزنقه ای است.
در فرمول کلی به ازای a 1 = a 2 = 1 2 و p 1 = q 11 = 1 فرمول روش هیون حاصل می شود. می توان در روش رانگ - کوتای مرتبه دوم نیز تنها a 2 = 1 2 را قرار داد.
این روش مشابه همان روش اویلر است با این تفاوت که به جای مقدار گام، به اندازه نصف گام محاسبه می شود.