در مکانیک کوانتومی، ذره در یک شبکه یک بعدی، مسئله ای است که در مدل یک شبکه بلوری دوره ای به وجود می آید. پتانسیل توسط یون ها در ساختار دوره ای بلور ایجاد می شود که یک میدان الکترومغناطیس[ ۱] ایجاد می کند، بنابراین الکترون ها تحت پتانسیل منظم داخل شبکه قرار می گیرند. این یک تعمیم از مدل الکترون آزاد است که فرض می کند داخل شبکه پتانسیل صفر است.
هنگامی که در مورد مواد جامد صحبت می شود، معمولاً بحث اطراف بلورها - شبکه های دوره ای - است. در اینجا، ما درباره یک شبکه یک بعدی از یون های مثبت صحبت خواهیم کرد. با فرض اینکه فاصله بین دو یون برابر با a است، پتانسیل در داخل شبکه به شکل زیر خواهد بود:
نمایش ریاضی پتانسیل یک تابع دوره ای با دوره a است. طبق قضیه بلوخ، راه حل معادله شرودینگر زمان ناحیه اگر پتانسیل دوره ای باشد، می تواند به شکل زیر نوشته شود:
ψ ( x ) = e i k x u ( x ) ,
که در آن u ( x ) یک تابع دوره ای است که شرط u ( x + a ) = u ( x ) را ارضا می کند. این عامل بلوخ [ ۲] با نمایانگر فلوکه، منجر به ساختار باند از طیف انرژی معادله شرودینگر با یک پتانسیل دوره ای مانند پتانسیل کرونیگ - پنی یا یک تابع کسینوس مانند معادله ماتیو می شود. هنگام نزدیک شدن به لبه های شبکه، مشکلاتی در شرایط مرزی پیش می آید. بنابراین، ما می توانیم شبکه یونی را به عنوان یک حلقه نمایش دهیم که شرایط مرزی بورن - فان کارمان را دنبال می کند. اگر L طول شبکه باشد به گونه ای که L ≫ a، آنگاه تعداد یون ها در شبکه به حدی زیاد است که هنگام در نظر گرفتن یک یون، محیط آن تقریباً خطی است و تابع موج الکترون بدون تغییر باقی می ماند. بنابراین، اکنون به جای دو شرط مرزی، یک شرط مرزی دایره ای به دست می آید:
ψ ( 0 ) = ψ ( L ) .
اگر N تعداد یون ها در شبکه باشد، آنگاه ما رابطه زیر را داریم: aN = L. با جایگذاری در شرط مرزی و اعمال قضیه بلوخ، به یک کوانتوم سازی برای k منجر خواهد شد:
ψ ( 0 ) = e i k ⋅ 0 u ( 0 ) = e i k L u ( L ) = ψ ( L )
u ( 0 ) = e i k L u ( L ) = e i k L u ( N a ) → e i k L = 1
⇒ k L = 2 π n → k = 2 π L n ( n = 0 , ± 1 , … , ± N 2 ) .
مدل کرونیگ - پنی[ ۳] یک سیستم ساده و ایده آل در مکانیک کوانتومی است که از یک آرایه بی نهایت دوره ای از حاجب های پتانسیل مستطیلی تشکیل شده است. تقریباً تابع پتانسیل با یک پتانسیل مستطیلی مدل می شود:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفهنگامی که در مورد مواد جامد صحبت می شود، معمولاً بحث اطراف بلورها - شبکه های دوره ای - است. در اینجا، ما درباره یک شبکه یک بعدی از یون های مثبت صحبت خواهیم کرد. با فرض اینکه فاصله بین دو یون برابر با a است، پتانسیل در داخل شبکه به شکل زیر خواهد بود:
نمایش ریاضی پتانسیل یک تابع دوره ای با دوره a است. طبق قضیه بلوخ، راه حل معادله شرودینگر زمان ناحیه اگر پتانسیل دوره ای باشد، می تواند به شکل زیر نوشته شود:
ψ ( x ) = e i k x u ( x ) ,
که در آن u ( x ) یک تابع دوره ای است که شرط u ( x + a ) = u ( x ) را ارضا می کند. این عامل بلوخ [ ۲] با نمایانگر فلوکه، منجر به ساختار باند از طیف انرژی معادله شرودینگر با یک پتانسیل دوره ای مانند پتانسیل کرونیگ - پنی یا یک تابع کسینوس مانند معادله ماتیو می شود. هنگام نزدیک شدن به لبه های شبکه، مشکلاتی در شرایط مرزی پیش می آید. بنابراین، ما می توانیم شبکه یونی را به عنوان یک حلقه نمایش دهیم که شرایط مرزی بورن - فان کارمان را دنبال می کند. اگر L طول شبکه باشد به گونه ای که L ≫ a، آنگاه تعداد یون ها در شبکه به حدی زیاد است که هنگام در نظر گرفتن یک یون، محیط آن تقریباً خطی است و تابع موج الکترون بدون تغییر باقی می ماند. بنابراین، اکنون به جای دو شرط مرزی، یک شرط مرزی دایره ای به دست می آید:
ψ ( 0 ) = ψ ( L ) .
اگر N تعداد یون ها در شبکه باشد، آنگاه ما رابطه زیر را داریم: aN = L. با جایگذاری در شرط مرزی و اعمال قضیه بلوخ، به یک کوانتوم سازی برای k منجر خواهد شد:
ψ ( 0 ) = e i k ⋅ 0 u ( 0 ) = e i k L u ( L ) = ψ ( L )
u ( 0 ) = e i k L u ( L ) = e i k L u ( N a ) → e i k L = 1
⇒ k L = 2 π n → k = 2 π L n ( n = 0 , ± 1 , … , ± N 2 ) .
مدل کرونیگ - پنی[ ۳] یک سیستم ساده و ایده آل در مکانیک کوانتومی است که از یک آرایه بی نهایت دوره ای از حاجب های پتانسیل مستطیلی تشکیل شده است. تقریباً تابع پتانسیل با یک پتانسیل مستطیلی مدل می شود:
wiki: ذره در یک شبکه یک بعدی