در ریاضیات، خطی سازی یافتن تقریب خطی یک تابع در یک نقطه معین است. تقریب خطی یک تابع اولین مرتبه بسط تیلور در حول نقطه مورد نظر است. در مطالعه سیستم های دینامیکی، خطی سازی روشی برای ارزیابی پایداری موضعی یک نقطه تعادل سیستم معادلات دیفرانسیل غیرخطی یا سیستم های دینامیکی گسسته است. [ ۱] این روش در زمینه هایی مانند مهندسی، فیزیک، اقتصاد و بوم شناسی استفاده می شود.
برای پیدا کردن 4. 001 ، ما می توانیم از این واقعیت استفاده کنیم که 4 = 2 . خطی سازی f ( x ) = x در x = a است y = a + 1 2 a ( x − a ) ، زیرا تابع f ′ ( x ) = 1 2 x شیب این تابع را تعریف می کند f ( x ) = x در x . جایگزینی در a = 4 ، خطی سازی در ۴ است y = 2 + x − 4 4 . در این مورد x = 4. 001 ، بنابراین 4. 001 تقریباً 2 + 4. 001 − 4 4 = 2. 00025 . مقدار واقعی نزدیک به ۲٫۰۰۰۲۴۹۹۸ است، بنابراین تقریب خطی دارای یک خطای نسبی کمتر از ۱ میلیونیم درصد است.
معادله خطی سازی یک تابع f ( x , y ) در نقطه p ( a , b ) است:
f ( x , y ) ≈ f ( a , b ) + ∂ f ( x , y ) ∂ x | a , b ( x − a ) + ∂ f ( x , y ) ∂ y | a , b ( y − b )
معادله عمومی برای خطی سازی یک تابع چند متغیره f ( x ) در نقطه p است:
f ( x ) ≈ f ( p ) + ∇ f | p ⋅ ( x − p )
در این جا x بردار متغیرها است، و p نقطه خطی سازی مورد علاقه است. [ ۲]
خطی سازی امکان استفاده از ابزارهایی را برای مطالعه سیستم های خطی برای تجزیه و تحلیل رفتار یک تابع غیرخطی در نزدیکی یک نقطه داده شده فراهم می کند. خطی سازی یک تابع اولین مرتبه بسط تیلور آن در حول نقطه مورد نظر است. برای سیستمی که با این معادله تعریف شده است
سیستم خطی شده را می توان به صورت نوشت
که x 0 نقطه مورد علاقه است و D F ( x 0 ) ژاکوبی F ( x ) ارزیابی شده در x 0 است.
• تجزیه و تحلیل پایداری
در تجزیه و تحلیل پایداری سیستم های خودگردان، می توان از مقادیر ویژه ماتریس ژاکوبین ارزیابی شده در یک نقطه تعادل هذلولی برای تعیین ماهیت آن تعادل استفاده کرد. این محتوای قضیه خطی سازی است. برای سیستم های متغیر با زمان، خطی سازی نیاز به توجیه اضافی دارد. [ ۳]
• اقتصاد خرد
در اقتصاد خرد، قوانین تصمیم گیری ممکن است تحت رویکرد حالت - مانا برای خطی سازی تقریبی شود. [ ۴] تحت این روش، معادلات اولر مسئله حداکثرسازی سود در حول حالت ثابت مانا خطی می شوند. سپس یک راه حل منحصر به فرد برای سیستم معادلات دینامیکی حاصل می شود.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفبرای پیدا کردن 4. 001 ، ما می توانیم از این واقعیت استفاده کنیم که 4 = 2 . خطی سازی f ( x ) = x در x = a است y = a + 1 2 a ( x − a ) ، زیرا تابع f ′ ( x ) = 1 2 x شیب این تابع را تعریف می کند f ( x ) = x در x . جایگزینی در a = 4 ، خطی سازی در ۴ است y = 2 + x − 4 4 . در این مورد x = 4. 001 ، بنابراین 4. 001 تقریباً 2 + 4. 001 − 4 4 = 2. 00025 . مقدار واقعی نزدیک به ۲٫۰۰۰۲۴۹۹۸ است، بنابراین تقریب خطی دارای یک خطای نسبی کمتر از ۱ میلیونیم درصد است.
معادله خطی سازی یک تابع f ( x , y ) در نقطه p ( a , b ) است:
f ( x , y ) ≈ f ( a , b ) + ∂ f ( x , y ) ∂ x | a , b ( x − a ) + ∂ f ( x , y ) ∂ y | a , b ( y − b )
معادله عمومی برای خطی سازی یک تابع چند متغیره f ( x ) در نقطه p است:
f ( x ) ≈ f ( p ) + ∇ f | p ⋅ ( x − p )
در این جا x بردار متغیرها است، و p نقطه خطی سازی مورد علاقه است. [ ۲]
خطی سازی امکان استفاده از ابزارهایی را برای مطالعه سیستم های خطی برای تجزیه و تحلیل رفتار یک تابع غیرخطی در نزدیکی یک نقطه داده شده فراهم می کند. خطی سازی یک تابع اولین مرتبه بسط تیلور آن در حول نقطه مورد نظر است. برای سیستمی که با این معادله تعریف شده است
سیستم خطی شده را می توان به صورت نوشت
که x 0 نقطه مورد علاقه است و D F ( x 0 ) ژاکوبی F ( x ) ارزیابی شده در x 0 است.
• تجزیه و تحلیل پایداری
در تجزیه و تحلیل پایداری سیستم های خودگردان، می توان از مقادیر ویژه ماتریس ژاکوبین ارزیابی شده در یک نقطه تعادل هذلولی برای تعیین ماهیت آن تعادل استفاده کرد. این محتوای قضیه خطی سازی است. برای سیستم های متغیر با زمان، خطی سازی نیاز به توجیه اضافی دارد. [ ۳]
• اقتصاد خرد
در اقتصاد خرد، قوانین تصمیم گیری ممکن است تحت رویکرد حالت - مانا برای خطی سازی تقریبی شود. [ ۴] تحت این روش، معادلات اولر مسئله حداکثرسازی سود در حول حالت ثابت مانا خطی می شوند. سپس یک راه حل منحصر به فرد برای سیستم معادلات دینامیکی حاصل می شود.
wiki: خطی سازی