حساب چندمتغیره تعمیمی از حساب دیفرانسیل و انتگرال یک متغیره به حساب بیش از یک متغیر ( مشتق گیری و انتگرال گیری از توابع شامل چند متغیر ) است.
مطالعهٔ حد و پیوستگی در حساب چند متغیره، نتایجی بدست می دهد که با حس شهودی و آنچه در توابع تک متغیره مشاهده می شود، متفاوت است. به عنوان مثال، تابع f ( x , y ) = x 2 y x 4 + y 2 در راستای هر خط راست گذرنده از مبدأ به صفر میل می کند، در حالی که اگر نزدیک شدن به مبدأ بر روی سهمی y = x2 انجام گیرد، این تابع حد ۰٫۵ خواهد داشت. چون نزدیک شدن به مبدأ بر روی مسیرهای مختلف، به نتایج متفاوتی منجر می شود، حد این تابع در مبدأ وجود ندارد.
پیوستگی یک تابع چندمتغیره نسبت به هر یک از مؤلفه هایش، پیوستگی آن را ثابت نمی کند. برای مثال، در مورد تابع دو متغیره f ( x , y ) پیوستگی f در راستای x با y ثابت و پیوستگی f در راستای y با x ثابت، پیوستگی f را ثابت نمی کند. مثلاً برای تابع f با ضابطهٔ زیر:
اگر f y ( x ) تابع تک متغیره ای نسبت به x و با مقدار برابر با f ( x , y ) به ازای y ثابت و f x ( y ) یک تابع تک متغیره نسبت به y و با مقدار برابر با f ( x , y ) به ازای x ثابت باشد، همهٔ تابع های fy و fx حول صفر پیوسته هستند. ولی با در نظر گرفتن f ( 1 / n , 1 / n ) ( برای مقادیر طبیعی n ) ، lim n → ∞ f ( 1 / n , 1 / n ) = 1 و با توجه به اینکه f ( 0 , 0 ) = 0 ، تابع f حول مبدأ مختصات، پیوسته نیست. همچنین توجه شود که r در مختصات قطبی و حد گیری صفر است.
مشتق گیری پاره ای، مفهوم مشتق را به ابعاد بالاتر ( چند متغیره ) گسترش می دهد. مشتق پاره ای یک تابع چندمتغیره، مشتق آن تابع نسبت به یک متغیر است در حالی که سایر متغیرها ثابت باشند.
مشتق های پاره ای می توانند به روش های مختلف با یکدیگر ترکیب شده و عبارات پیچیده تری را بسازند. در حساب برداری، عملگر دل ( ∇ ) برای تعریف گرادیان، دیورژانس و کرل بر حسب مشتق های پاره ای مورد استفاده قرار می گیرد. یک ماتریس از مشتق های پاره ای، که با نام ماتریس ژاکوبی شناخته می شود، می تواند برای نشان دادن مشتق های یک تابع بین دو فضا با ابعاد دلخواه مورد استفاده قرار گیرد.
معادلات دیفرانسیل شامل مشتق های پاره ای، معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای یا به اختصار PDE نامیده می شوند. حل این معادلات معمولاً نسبت به معادلات دیفرانسیل معمولی ( که تنها شامل مشتق های نسبت به یک متغیر هستند ) دشوارتر است.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفمطالعهٔ حد و پیوستگی در حساب چند متغیره، نتایجی بدست می دهد که با حس شهودی و آنچه در توابع تک متغیره مشاهده می شود، متفاوت است. به عنوان مثال، تابع f ( x , y ) = x 2 y x 4 + y 2 در راستای هر خط راست گذرنده از مبدأ به صفر میل می کند، در حالی که اگر نزدیک شدن به مبدأ بر روی سهمی y = x2 انجام گیرد، این تابع حد ۰٫۵ خواهد داشت. چون نزدیک شدن به مبدأ بر روی مسیرهای مختلف، به نتایج متفاوتی منجر می شود، حد این تابع در مبدأ وجود ندارد.
پیوستگی یک تابع چندمتغیره نسبت به هر یک از مؤلفه هایش، پیوستگی آن را ثابت نمی کند. برای مثال، در مورد تابع دو متغیره f ( x , y ) پیوستگی f در راستای x با y ثابت و پیوستگی f در راستای y با x ثابت، پیوستگی f را ثابت نمی کند. مثلاً برای تابع f با ضابطهٔ زیر:
اگر f y ( x ) تابع تک متغیره ای نسبت به x و با مقدار برابر با f ( x , y ) به ازای y ثابت و f x ( y ) یک تابع تک متغیره نسبت به y و با مقدار برابر با f ( x , y ) به ازای x ثابت باشد، همهٔ تابع های fy و fx حول صفر پیوسته هستند. ولی با در نظر گرفتن f ( 1 / n , 1 / n ) ( برای مقادیر طبیعی n ) ، lim n → ∞ f ( 1 / n , 1 / n ) = 1 و با توجه به اینکه f ( 0 , 0 ) = 0 ، تابع f حول مبدأ مختصات، پیوسته نیست. همچنین توجه شود که r در مختصات قطبی و حد گیری صفر است.
مشتق گیری پاره ای، مفهوم مشتق را به ابعاد بالاتر ( چند متغیره ) گسترش می دهد. مشتق پاره ای یک تابع چندمتغیره، مشتق آن تابع نسبت به یک متغیر است در حالی که سایر متغیرها ثابت باشند.
مشتق های پاره ای می توانند به روش های مختلف با یکدیگر ترکیب شده و عبارات پیچیده تری را بسازند. در حساب برداری، عملگر دل ( ∇ ) برای تعریف گرادیان، دیورژانس و کرل بر حسب مشتق های پاره ای مورد استفاده قرار می گیرد. یک ماتریس از مشتق های پاره ای، که با نام ماتریس ژاکوبی شناخته می شود، می تواند برای نشان دادن مشتق های یک تابع بین دو فضا با ابعاد دلخواه مورد استفاده قرار گیرد.
معادلات دیفرانسیل شامل مشتق های پاره ای، معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای یا به اختصار PDE نامیده می شوند. حل این معادلات معمولاً نسبت به معادلات دیفرانسیل معمولی ( که تنها شامل مشتق های نسبت به یک متغیر هستند ) دشوارتر است.
wiki: حساب چندمتغیره